求Σ(N^n)的通项式 1+2^n+3^n+...+N^n＝ N(n+1)/(n+1)+N^n/2+n*N^(n-1)/12-n(n-1)(n-2)N^(n-3)/6！+n！N^(n-5)/42/6！/(n-5)！-n！N^(n-7)/30/8！/(n-7)！+5n！N^(n+9)/10！/66/(n-9)！-...+...-(1-r)N 或(1-r)N^2。 r为系数之和， 若n/2＝Z，则项数为n/2+2， 若(n+1)/2＝Z，则项数为n/2+3/2。

伪素数判定法之迭代法: 求指数m: 首先求a^(b-1)|b=m1，将m1代入a^(b-1+m1)|b=m2，…， A类死循环法，当出现a^(b-1+m1+m2+…+mn)|b=mn时，则mn为m。 例:3^(76+25+47+60n)|77=60，→3^60|77=1，→3^30|77=1，30为最小指数 B类循环节法: B1当出现a^(b-1+m1)|b=m2，a^(b-1+m2)|b=m1时，则(m1+m2)/2^t=m，t是使公式成立的值 B2当出现a^(b-1-m1)|b=m2，a^(b-1-m2)|b=m1时，则(m1+m2)/2^t=m，t是使公式成立的值 例2，2^(220+(16+152)/8-1)/221，m=(16+152)/2=168，即2^(168)|221=1， 2^(220-1-8-76-60-8)/221=76，→(76+60+8)/2=144/2=72，即2^(72)|2

数学创新手工纺: 费马小定理中，存在N^(P-1)|P=1，(N，P)=1，称这类的P为迈克尔数，第一个迈克尔数为561，如2^560|561=1，5^560|561=1，7^560|561=1，…。 某公式出现以后，可以使任意大于1的自然数变成迈克尔数。 比如N^4|10=1，N^16|64=1，…。

X^5+pX^3+qx^2+rx+s=0 x=(p^(1/3)+(p^(2/3)+(p^(4/3)+4((q/2+(q^2-27((r/2±(r^2-4s)/2)^0.25)^3/4)/2)^(1/3)+((q/2-(q^2-27((r/2±(r^2-4s^2)/2)^0.25)^3/4)/2)^(1/3)))^0.5)^0.2+(p^(1/3)+(p^(2/3)-(p^(4/3)+4((q/2+(q^2-27(r/2±(r^2-4s)/2)^0.25)^3/4)/2)^(1/3)+((q/2-(q^2-27((r/2±(r^2-4s)/2)^0.25)^3/4)/2)^(1/3)))^0.5)^0.2

设a1=1.111..1，b1=0.999..9，令c1=a2-b2=0.111..2，令d1=c2+1-a1=0.000..1， 设a2=1.111..1，b2=0.888..8，令c2=a2-b2=0.222..3，令d2=2+c2-2a2=0.000..1，那么，怎么找到0.000..2呢？ 若能找到0.000..2，那么微积分崩塌

例题1＞已知数列an，最大值为961，共有项数n＝61，求最小值及和值。 解:∵(n+1)/2＝31，即第31项为最大项，或有N(61+1)-N^2＝961，解得N＝31， 最小值为1*（62)-1＝61即为项数n， 和值为61^3/6+61^2/2+61/3＝39711

x5+1=0的五根为e^(±πi/5)，e^(±3πi/5)，e^(πi)。

ax^2-1=y^2，a^0.5≠Z，y0=±i，x0=0是平凡解。 最小的正整数解（基本解）的另外求法: 连分减数法Σ[(a)^0.5]n=a0-1/(a1-1/(a2-…-1/(an-1)=y0/x0，a1~an为循环节。 a=2=(2-1/(2-1/(4-1/(2-1/(4-1/(2-1/4))))))^2，y0/x0=2-1/(2-1)&(2-1/(2-1/(4-1)))&(2-1/(2-1/(4-1/(2-1/(4-1))))=1/1&7/5&41/29 a=3=(2-1/(4-1/(4-1/(4-1/(4-1/(4-1/4))))))^2，Σ[(3)^0.5]2=2-1/(4-1)=5/3，伪值，是a=-2式值，无基本解。a=5=(3-1/(2-1/(2-1/(2-1/(6-1/(2-1/(2-1/(2-1/(6)))))))^2 Σ[(3)^0.5]2&5=3-1/(2-1)&3-1/(2-1/(2-1/(2-1/(6-1))))=2/1&38/17=y0/x0。 a=13=(4-1/(3-1

那个爱代数的女娃娃提出的奇连分数猜想之后本尊提出偶连分数猜想有解了 e^ (1/(2+1/(4+1/(6+1/(8+1/(10+1/(12+1/(14+1/(16+1/(18+1/(20+1/(22+1/(24+1/(26+1/(28+…))))))))))))))* e^ (1/(2-1/(4-1/(6-1/(8-1/(10-1/(12-1/(14-1/(16-1/(18-1/(20-1/(22-1/(24-1/(26-1/(28-…))))))))))))))=2.777276804538728 e^ (1/(2-1/(4-1/(6-1/(8-1/(10-1/(12-1/(14-1/(16-1/(18-1/(20-1/(22-1/(24-1/(26-1/(28-…))))))))))))))=1.777276804538728 令(1/(2+1/(4+1/(6+1/(8+1/(10+1/(12+1/(14+1/(16+1/(18+1/(20+1/(22+1/(24+1/(26+1/(28+…))))))))))))))=f(+1/(2n)) 令(1/(2-1/(4-1/(6-1/(8-1/(10-1/(12-1/(14-1/

圆内正N边形曲线图 y=sin(π/4/r)r，ⅹ=cos(π/4/r)r【图片】

求连式值119+137(119+137(119+137(119+137(119+...+137(119+137))…)，其中137的个数为377个

惊世之作 前无古人，后无来者。 念天地之悠悠，独怆然而大笑 尧驰大定理之质数判定公式 若[2^(P'/2-1/2)+1)(2^(P'/2-1/2)-1]/P'=Z，且(P'-1)/2=Q，(2^Q+1)(2^Q-1)/P'=Z， 又((P-1)/2+1)/2=O，如果[(2^O+1)(2^O-1)-1]/P'=Z，或[(P-1)/2+1]/2=Q，如果[(2^Q+1)(2^Q-1)+3]/P'=Z，则P'=P，否则P'≠P。 若[2^(P'/2-1/2)+1)(2^(P'/2-1/2)-1]/P'=Z，且(P'-1)/2=O1，(2^O1+1)(2^O1-1)/P'=Z， 又(P-1)/2^2=O2，(2^O2+1)(2^O2-1)/P'=Z，，……，直到(P-1)/2^n=Q，如果((2^Q+1)(2^Q-1)+2)/P'=Z，则P'=P，否则P'≠P。(注，当P'=P时，存在[(2^Om+1)(2^Om-1)+2]/P'

递推圆环：以半径为单位1的圆为可视圆(基圆) 依次作出半径为2/3/4/..../n的圆环套嵌基圆上的图形。 从单位2的圆环开始，将递推圆环的半圆环依次1/2，1/3，1/4，……1/n，那么半径为n的1/n长度为基圆1/2。 将其结点平滑连接为弧作线段函数曲线。

圆环化矩形 作一外径为R，内径为r圆环，在圆环内，去除四个半径为(R-r)/2的圆，余下的面积为矩形2piR*r。 公式为piR^2-pir^2-4pi(R-r)^2/4=pi(2Rr)=2piR *r

[cp]尺规椭圆 在一直线上截取线段AB， 短半轴a与AB相连，使得b=a+AB /2，以B点为圆心以a为半径从0度逆时针画圆，同时B点向AB中心移动，使得B点达到中心点时a的另一端达到圆的最高点。此完成了1/4椭圆，余3/4用此法完成即可 [/cp]

吊打费马小定理 整数只分质数和非质数。 费马小定理将它分素数，奇/偶伪素数，殆素数。 全tm扯蛋 看看吧，我把非质数按它的理论吊打一下 它说最小奇伪素数是341，最小偶伪素数是161038，可笑！ 再小的奇伪素数是21=3*7，(13^20+21^12-1)/21/13 次小的的奇伪素数是15=3*5，(11^14+15^10-1)/15/11=Z 最小的的奇伪素数是9=3*3，(17^8+9^16-1)/9/17 再小的偶伪素数是10=2*5，(11^9-1)/10=Z，(11^9+10^10-1)/11/10=Z， 次小的偶伪素数是6=2*3，(7^5-1)/6=Z，(7^5+6^6-1)/7/6=Z 最小的偶伪素数是4=2*2

经过过年这段时间的苦思冥想终于在质数领域由有了重大突破，虽然比不上黎曼猜想，至少比威尔逊定理强百倍。即 把P阶乘降为2的P-2次方 2^(P-2)/P+1/2-1/2/P =Z

连分数展开

一个四面体由n个相等的小四面方体构成，已知一个面是1255141小三角形面，另一个面是1234567小三角形面，求n值？

体:X^3十aX十bX十C＝0 我们规定:在空间坐标糸中，第一象限为正面体，第二象限为正负面体，第三象限为正反面体，第四象限为正对面体，第五象限为负正面体，第六象限为负负面体，第七象限为负反面体，第八象限为负对面体

((1/n*2^m1-a1)n=n1 ((1/n1*2^m2-a2)n1=n2 ((1/n2*2^m3-a3)n2=n3 .... ((1/n(j-1)*2^mj-aj)nj=1 m为使1/n上岸的最小正整数值，a为上岸最小正整数值，n为正整数值。

李氏猜想: (N-∑N)/9=Z+&0， ∑N为位数之和 如(6-6)/9=0，(12-1-2)/9=1，(13-1-3)/9=1，(101-1-1)/9=11，(12345-1-2-3-4-5)/9=1360，…

谁还了谁的钱？ 住在三楼的哥哥爬到住在四楼的弟弟家叫他去通知住在五楼的妹妹去请住在二楼的妈妈找到住在一楼的爷爷还上哥哥欠弟弟借给妹妹存在妈妈那里的一百元钱！

如:2*3*5*7*11=2310，|2310|_=48 1/2/3/5/7/11//6/10/14/22/15/21/33/35/55/77//30/42 2*3*5*7*11*13*17=530530，l530530l_=714 1/2/3/5/7/11/13/17(八) /6/10/14/22/26/34/15/21/33/39/51/35/55/65/85/77/91/119/143/187/221/(二十一) /30/42/66/78/102/70/110/130/170/154/182/238/286/374/442/105/165/195/255/231/273/357/429/561/663/(二十五) /385/455/595/715/(三) 935/1105/1001/1309/1547/2431 210/330/390/510/462/546/714/(七)858/1122/1326/770/910/1190/1430/1870/2210/2002/2618/3094/4862/ 1155/1365/1785/2145/2805/3315/3003/3927/4641/7293/5005/6545/7735/12155/170170 Lj=n+1+C(7/2)+C(7/3)-6+C(7/4)-28=8+7!/2/

如何判定一个Z被7整除？ 判断一个数能否被7整除,有两种方法： ①割尾法： 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推. 割尾法

尧弛不等式: (a+1)^a>a^(a+1) 0<a<2.2931662874 (a+1)^a=a^(a+1)，a=2.2931662874 a^(a+1)>(a+1)^a 2.2931662874<a

n为奇数: tg(nA)=[(n!/(n-1)!/1!tgA-n!/(n-3)!/3!tgA^3+…-...+tgA^n]/[1-n!/(n-2)!/2!tgA^2+n!/(n-4)/4!tgA^4-..+…-ntgA^(n-1)] n为偶数: tg(nA)=[(n!/(n-1)!/2!tgA-n!/(n-3)/3!tgA^3+…-..+ntgA^(n-1)]/[1-n!/(n-2)/2!tgA^2+n!/(n-4)/4!tgA^4-..+…-tgA^n)]

求可视度为10^10时，一个单位正方形面积的积分后为正方形边框轮廊的点数是多少？

一般顺时旋有下降倾向，逆时旋有上升倾向，飞碟一般逆时旋上升

构造数学大厦基石 1〉圆点的定义:通过次维圆两侧的所有弧长为直径长的实心圆图形为圆点 2〉方点:通过次维正方形任意一条垂直或水平的线段可以覆盖其身的实心图形为方点 3> 两个相连的方点可以组成最短线段 两个相连圆点可以组不成最短线段 两个不相连圆点可以组成最短虚线段

在代数中，0代表无，它参与计算;∞代表有，它不参与计算 在几何中，0代表1个位置，它参与定位;∞代表一个方向，它不参与定位却参与定向！

若32≡11（mod m)和17≡11（mod m）同时成立，则m=？

将费马小定理变成可计算大数据的公式，须要从量变到质变过程！ 如判断12345689是否为P，用尧驰质判公式即可: (1-0.1^12345688)/12345689*10^24=80999934471053000，即当10^n中n增大1，其结果后多一个0表明此数前n项终结！可判12345689=P

如何去查阅过去？ 假设有一个车祸事件，5年前发生在A市B路段，路人甲被撞，司机逃逸！ 又没有目击者及录像，如何找到这名司机？ 首先你要乘坐时子宇宙飞船以光速飞到5光年以后的距离，再用太空望远镜聚焦A市B路段直击现场即可！

若一条线段有n个点组成，问点与点的排列方式( ) :A重叠排列，B无缝排列，C无缝平铺，D有缝平铺！

非均匀虚直线分:规律和不规律两种，如按某种数列排列或收敛(发散)形式的为非均匀规律虚直线！

光速在不同的时子密度下，光进不同，也许大于太阳N倍恒星的光速大于太阳光速N倍

:人们在发明创造上都是遵巡一个规则: 从无到有，从有到粗犷再到精细最后到精密的迭代过程！ 有没有一种方发从无到精密呢？

地球上的人类不是地球上本有的生物。种族决定了他们来不同星球。他们的祖先都是外星人。

凹边形:至少有一组不相邻两个顶点的连线不穿过本身的多边形为凹边形，显然三角形符合。

孪生质数性质1： 凡是孪生较大质数P1与任何同样的孪生较大质数P2之差必被6整除。 (3，5，7，除外)

《民工兄弟》 旧衣啼新发，初乳床踏。桃花春风送燕归，儿父重南发。三田浓获稀入，村门无温度。纵然市夜灯绿，不及汗雨家寄！

1181481＝8a1+7a2+5a3+3a4+3a5 1181481＝a1+2a2+48a3+8a4， 另外还有两种表达，谁会？ 反民科们过来让老夫摸脸

一个数学爱好者把十几年前的东东晒晒，防止发霉 ∑n^N＝？ 解: 1^N+2^N+3^N+...+n^N＝ n(N+1)/(N+1)+n^N/2+N!n^(N-1)/6/2!/(N-1)!-N!n^(N-3)/30/4!/(N-3)!+N!n^(N-5)/42/6!/(N-5)!-N!n^(N-7)/30/8!/(N-7)!+5N!n^(N-9)/66/10!/(N-9)!-691N!n^(N-11)/2730/12!/(N-11)!+7N!n^(N-13)/6/14!/(N-13)!-3617N!n^(N-15)/510/16!/(N-15)!+43867N!n^(N-17)/798/18!/(N-17)!-174611N!n^(N-19)/330/20!/(N-19)!+854513N!/n^(N-21)/138/22!/(N-21)!-236364091N!n^(N-23)/2730/24!/(N-23)!+8553103 N!n^(N-25)/6/26!/(N-25)!-...+...-(1-w1)n^2或+(1-w2)n 。 I＞N为Q(奇数)，w1为除本项以外所有的糸数之和 N为O

光与植物

如果反过来 N!/x^3＝Zmin，此时x的解并非唯一了，如10!/x^3＝Zmin x＝1，2，3，4，6，12。

在地球上由于距太阳距离差别木大，所以失时度与加时度都微乎其微

这个能证伪吗？ P1^2+P2^2≠P3^2

凡在下面三式中无解者视P'为P 6m1m2+m1+m2＝(P'-1)/6 6m1m2+5m1+5m2＝(P'-25)/6 6m1m2+5m1+1m2＝(P'-5)/6 如:P'＝999999927 6m1m2+m1+m2＝(P'-1)/6 6m1m2+5m1+5m2＝(P'-25)/6 6m1m2+5m1+1m2＝(P'-5)/6 三者皆不符合 所以其为P。