一、若一个正方形可以被分成若干个小正方形,则:
原正方形四条边上都至少有2个小正方形
所以小正方形数至少有4个.
二、假设可以被分成5个小正方形,则:
除了覆盖原正方形四个直角的4个小正方形外,还要有1个小正方形
设4个覆盖原正方形四个直角的正方行用顶点按顺序命名为A,B,C,D,边长分别为a,b,c,d,第五个正方形为E,边长为e,原正方形边长为1
1.假设第5个小正方形E不在原正方形任意一条边上,
即每条边上只有2个小正方形,则:
a+b=b+c=c+d=d+a=1
a=c,b=d
a^2+b^2+c^2+d^2=2a^2+2b^2>=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2=1
A,B,C,D的面积和仅当a=b=1/2时为1,否则大于1
所以a=b=c=d=1/2,只能分成4个,假设不成立.
2.假设第5个小正方形E在原正方行某一条边上,不妨设在AB边上,在正方形A,B之间.则E的另两个顶点不在其他任意一边上,也就是其他三边上只有2个小正方形,有
a+b+e=b+c=c+d=d+a=1
则e=0,假设不成立
所以不能分成5个小正方形
三、由于任意一个正方形都可以被分成4个相等的正方形,使正方形数目增加3个,我们只需要找到可以被分成连续3个正整数的方案就可以说明可以被分成之后的任意整数个正方形
相反若分割图形中存在由4个小正方形组成一个大正方形的情形,我们可以通过将4个合并成一个从而减少3个正方形
前面说明了至少有4个,且5个是不可能的,来看6,7,8
1.由于分成9个相等正方形显然,而9个之中有4个可以合成一个较大正方形,所以9-3=6个是显然可行的
2.由于分成4个相等正方形显然,把其中一个分成4个,所以4+3=7是可行的
3.由于分成16个相等正方形显然,我们把其中9个合并成一个较大正方形,则可以减少8个,16-8=8个也没有问题
总结:除不能分成2,3,5个以外,可以被分成其他任意正整数个小正方形.(不考虑不分割,即仍为1个的情况)
原正方形四条边上都至少有2个小正方形
所以小正方形数至少有4个.
二、假设可以被分成5个小正方形,则:
除了覆盖原正方形四个直角的4个小正方形外,还要有1个小正方形
设4个覆盖原正方形四个直角的正方行用顶点按顺序命名为A,B,C,D,边长分别为a,b,c,d,第五个正方形为E,边长为e,原正方形边长为1
1.假设第5个小正方形E不在原正方形任意一条边上,
即每条边上只有2个小正方形,则:
a+b=b+c=c+d=d+a=1
a=c,b=d
a^2+b^2+c^2+d^2=2a^2+2b^2>=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2=1
A,B,C,D的面积和仅当a=b=1/2时为1,否则大于1
所以a=b=c=d=1/2,只能分成4个,假设不成立.
2.假设第5个小正方形E在原正方行某一条边上,不妨设在AB边上,在正方形A,B之间.则E的另两个顶点不在其他任意一边上,也就是其他三边上只有2个小正方形,有
a+b+e=b+c=c+d=d+a=1
则e=0,假设不成立
所以不能分成5个小正方形
三、由于任意一个正方形都可以被分成4个相等的正方形,使正方形数目增加3个,我们只需要找到可以被分成连续3个正整数的方案就可以说明可以被分成之后的任意整数个正方形
相反若分割图形中存在由4个小正方形组成一个大正方形的情形,我们可以通过将4个合并成一个从而减少3个正方形
前面说明了至少有4个,且5个是不可能的,来看6,7,8
1.由于分成9个相等正方形显然,而9个之中有4个可以合成一个较大正方形,所以9-3=6个是显然可行的
2.由于分成4个相等正方形显然,把其中一个分成4个,所以4+3=7是可行的
3.由于分成16个相等正方形显然,我们把其中9个合并成一个较大正方形,则可以减少8个,16-8=8个也没有问题
总结:除不能分成2,3,5个以外,可以被分成其他任意正整数个小正方形.(不考虑不分割,即仍为1个的情况)
