数字1~n分别对应了所有的序数,所以序数和也可表示为  
A1+A1+(1+1)+A2+A2+(2+1)+…+Ar+Ar+(r+1) —  
 =  
4n2+2n=4 (A1+A2+…+Ar)+n2+3n => n(3n-1)=4 (A1+A2+…+An)  
得n(3n-1)必为4的倍数,且n有四种情况n=4k n=4k+1 , n=4k+2 , n=4k+3  
分别代入n(3n-1),当n=4k+1 or 4k+2 分别代入n(3n-1)后,n(3n-1)并不是4 
的倍数,  
故得证: 当n=4k+1 or 4k+2时,挑剔数列不存在. ▓  
方法2.  
设n=4k+1  
一个使用数字1~4k+1(k为非负整数)各两次的挑剔数列是由2k个偶数和 
2k+1个奇数各填两次所成,共8k+2格,将空格由左而右编号为1~8k+2,  
则其中编号为奇数的有4k+1格,编号为偶数的有4k+1格,  
任一偶数填入的位置为a(设编号为奇数),则此偶数的第二次填入为a(奇 
数)+数字本身(偶数)+1,则为偶数,所以全部的偶数填入后会用掉2k个编 
号为奇数和2k个编号为偶数的格子,此时偶数格和奇数格都剩2k+1个.  
(间隔r位) 
3 
任一奇数填入的位置为b(设编号为奇数),则此奇数的第二次填入为b(奇 
数)+数字本身(奇数)+1,则为奇数,表示全部的奇数填入时会用掉2p个编 
号为奇数的格子或2q个编号为偶数个格子(p+q=2k+1),今奇数格和偶数格 
都剩下2k+1(奇数)格,所以全部的奇数无法完全填入,得证n=4k+1无法排 
出挑剔数列. ▓  
设n=4k+2  
一个使用数字1~4k+2(k为非负整数)各两次的挑剔数列是由2k+1个偶数和 
2k+1个奇数各填两次所成,共8k+4格,将空格由左而右编号为1~8k+4,  
则其中编号为奇数的有4k+2格,编号为偶数的有4k+2格,  
因为全部的偶数填入后会用掉2k+1个编号为奇数和2k+1个编号为偶数的 
格子,所以偶数格和奇数格都剩2k+1个.  
全部的奇数填入时会用掉2p个编号为奇数的格子或2q个编号为偶数个格 
子(p+q=2k+1),今奇数格和偶数格都剩下2k+1(奇数)格,所以全部的奇数 
无法完全填入,得证n=4k+2无法排出挑剔数列. ▓  
二,找出一排法能排出2n位挑剔数列,并证明n=4k,4k+3至少能找到一组  
挑剔数列.  
(一)找出规律,如能证出k=任意值时皆能找到至少一组挑剔数列,则间接得知n=4k or  
4k+3时挑剔数列必存在.  
1.挑剔数列之化简  
(1)先把挑剔数列中最大的数字n写下,再依造数字的大小顺序由第一个n的 
右边开始空一格依序填入直到第2个n之左方.  
例: 7_6_5_4_7 (n=7)  
(2)把步骤一所填入的数字往其右方填入第二次,同时在第一个n之左方补上 
此挑剔数列应有但尚未画上之空格.  
例: _ _ 7_6_5_4_7 6 5 4 (n=7)  
(3)把剩余数字的偶数由左到右递增填入偶数格中,这些偶数的第2次皆填入 
原先填入之偶数的右方.  
偶数格的定义为与第1个n之序数差为偶数的格子.  
奇数格的定义为与第1个n之序数差为奇数的格子.  
例: 2 _ 4 2 11_10 4 9_8_7_6 _ 11 10 9 8 7 6 (n=11)  
(4)把剩余的数字与空格一起作化简,把剩余的奇数皆减一再除以二,空格与 
空格间的距离也减一再除以二,使之变为一新的挑剔数列.  
例:原n=11的挑剔数列化简为 _ X _ X _ _ _ _  
X表示此格在原挑剔数列中已被填入过数字.  
2.新挑剔数列之排法  
※新挑剔数列之定义:  
新挑剔数列之形式为 _ X _ _ _ 其中 X之数量为右方连续空格之 
数量减2.  
4 
(1)num X =4a+1时的排法  
先把偶数由右往左递增填入偶数格中,填入这些偶数的第2次时,最 
大偶数的第2次往原来的右方填,其余的往左方填入.  
例: _ X _ X _ X _ X _ X 2 4 _ 2 0 0 4  
偶数格之定义改为与X之序数差为偶数.  
奇数格之定义改为与X之序数差为奇数.  
剩余的数字与空格一起作化简,剩余的奇数皆减一再除以二,空格与 
空格间的距离也减一再除以二,使此挑剔数列再做变化.  
例:原num(X)=5变为_ _ _ _ _ X _  
再把偶数由左往右递增填入偶数格,这些偶数的第2次填入中最大的 
偶数第2次往原来的左方填,其余的往右方填入  
再化简一次,则此数列就会变回新挑剔数列,形成一循环过程,每次 


循环后原num(X)=4a+1之a值减少2 (a≥0).  
(2)num X =4a+2时的排法  
把最大的偶数填在最右边的偶数格,其余的偶数由右往左递增填入偶 
 数格,这些偶数的第二次填入皆往原数之左填入,惟第2次往左填入 
会碰到最大偶数的偶数往原数之右填入.  
例: _ X _ X _ X _ X 4 X _ X 6 4 _ 2 0 0 2 6  
把剩余的空格与数字用和前面一样的方法化简,则此数列就会变回新 
挑剔数列,形成一循环过程,每次循环后 原 num (X ) = 4a+2 之a 
值减少1 (a≥0).  
(3)num X =4a+3与num X =4a+4时的排法  
把偶数由右往左递增填入偶数格中,这些偶数的第2次填入往原数之 
左方填入.  
例: _ X _ X _ X _ X 6 X _ X 4 X _ 6 2 4 _ 2 0 0 _  
把剩余数字与空格依前面所提之方法化简.  
把偶数由左往右递增填入偶数格中,这些偶数的第二次填入皆填往原 
数之右方,再执行一次化简的步骤,则此数列就会变回新挑剔数列, 
每次循环后原4a+3 or 4a 之a值减少2 (a≥0).  
(二)证明上述新挑剔数列之排列方式中{num(X)=4a,4a+1,4a+2,4a+3},a为任意非 
负整数时此排列方式恒成立.  
1.证明num X =4a+1,a为非负整数时,此排法皆成立.  
(1)由於每个X之左方必有一个空格,所以设num[ _X]=4a+1  
新挑剔数列中右方之连续空格数为num X +2,故num[ _ ]=4a+3  
总空格为(4a+1)+4a+3=8a+4,故可填入数字0~4a+1.  
(2)标定序数,最右方为1,至最左方为512a3)(4a21)(4a+=++×+.  
(3)跟据排法,偶数皆先填入偶数格中.0 4a+1中偶数共有2a+1个,由於之 
前已说数字第二次填入所对应之序数表示为Ar+(r+1),现在Ar位於偶数 
格,而r又为偶数,故这些偶数的第二次填入会填入奇数格中,  
5 
形成[XXX_]的情况.  
(4)把此数列由右至左每四个划为一组.  
例:  
最大偶数倒填使得前4格变为〔2 0 0 4a〕,0和4a都无法使〔XXX_〕的 
情况出现,所以num[XXX_ ]=2a+1-2=2a-1 , 而num[XXXX]=1  
故num[X_ ]={总格数-4num[XXX_]-4num[XXXX]-最左方一格 
[ _ ]}÷2=2a+2.  
(5)依之前所提方式化简:  
XXX_ X_ XXXX 消失 X__ __  
此时化简后新的数列与原挑剔数列左右颠倒 (连续空格在左方)  
而num[ _X ]=2a-1 num[ _ ]=2a+2+1=2a+3  
新的数列总空格=num[ _ ]+num[ _X ]=4a+2可填入的数字为0 2a.  
(6)再重复一次偶数填偶数格之方法  
则 num〔_ XXX〕=a+1-2=a-1 num〔XXXX〕=1  
最右方之一格num〔_〕=1num〔_ X〕=(总格数 - 4(a-1) - 4 - 最右方一格 
〔_〕)/2=a.  
(7)再用之前的方法化简一次  
则新的数列方向变为和原来的一样  
且num〔_X〕=a-1 num [ _ ]=a+1  
两者差为2,条件皆和原先的新挑剔数列相符,形成一循环过程.  
(8)故得证a为任意非负整数时此排法皆成立. ▓  
2.证明num X =4a+2,a为非负整数时,此排法皆成立.  
(1)由於每个X之左方必有一个空格,所以设num[ _X]=4a+2  
新挑剔数列中右方之连续空格数为X之数量+2,故num[ _ ]=4a+4  
总空格数为(4a+2)+4a+4=8a+6,故可填入数字0~4a+2.  
(2)标定挑剔数列的序数,最右方为1,至最左方为2×(4a+2)+(4a+4)=12a+8.  
(3)跟据排法,偶数皆先填入偶数格中.0 4a+2中偶数共有2a+2个,数字第 
二次填入所对应之序数表示为Ar+(r+1),现在Ar位於偶数格,而r又为偶 
数,故这些偶数的第二次填入会填入奇数格中,形成[XXX_]的情况.  
(4)把此数列由右至左每四个划为一组,惟起始时是5个一组,由於最大之偶数 
4a+2是排在第一个偶数格上,使得偶数2a要倒填,故0和2a不会产生 
〔XXX_〕的形式,而前5格之形式为〔XXXXX〕  
所以num[XXX_ ]=2a+2-2=2a num〔XXXXX〕=1  
最左方之空格num〔_〕=1  
故num[X_ ]=(总格数-4×(2a)-5-1) ÷2=2a+1.  
(5)依之前所提方式化简:  
XXX_ X_ X__ __  
此时化简后新的数列虽与原挑剔数列左右颠倒 (连续空格在左方)  
6 
但num[ _X ]=2a num[ _ ]=2a+1+1=2a+2  


1～3，2个： 
231213，312132 

1～4，2个： 
23421314，41312432 

1～7，52个： 
14156742352637，14167345236275，15146735423627，15163745326427 
15167245236473，15173465324726，16135743625427，16172452634753 
17125623475364，17126425374635，23627345161475，23726351417654 
24723645317165，25623745361417，26325734615147，26327435614175 
26721514637543，27423564371516，34573641512762，34673245261715 
35723625417164，35743625427161，36713145627425，37463254276151 
41617435263275，41716425327635，45671415362732，46171435623725 
46171452632753，46357432652171，51716254237643，52462754316137 
52472654131763，52642753461317，52732653417164，53647352462171 
53672352461714，56171354632742，57141653472362，57236253471614 
57263254376141，57416154372632，61517346532472，62742356437151 
71316435724625，71416354732652，72452634753161，72462354736151 
72632453764151，73161345726425，73625324765141，74151643752362 

 1～8，300个： 
1316738524627548、1316834752642857、1316835724625847、1316837425624875 
1317538642572468、1317835264275846、1318536724528647、1318637245268475 
1415684735263287、1415784365237286、1415864725326837、1418634753268257 
1514678542362738、1516478534623728、1516738543627428、1516782542637483 
1517368534276248、1517386532472684、1518473564328726、1518627523468374 
1613758364257248、1613784365247285、1613857362452874、1615847365432872 
1617285263475384、1617483564372582、1618257263458374、1618274265348735 
1712682537463584、1712852467354836、1712852637453864、1712862357436854 
1713568347526428、1713845367425826、1714586347532682、1714683547362582 
1714853647352862、1716285247635483、1716384537642582、1718246257438653 
1813475364825726、1814637543862572、1815267245836473、1815374635842762 
2362834756141857、2382436754181657、2382437564181576、2382736151487654 
2452684753161387、2452864751316837、2462584736513187、2462784516137583 
2472864151736853、2482374635181765、2572368534716148、2572638543761418 
2572834563741816、2572861514736843、2582473564381716、2632783561417584 
2632853764151847、2642783465317185、2672485364735181、2672815164735843 
2682171465384735、2682537463584171、2732583467514186、2742853467351816 
2752683457364181、2782345637485161、2812156734853647、2812157463854376 
2812164753846357、2812167345836475、2812174635843765、2812175364835746 
2832463754816157、2842367435816175、2852467354836171、2852637453864171 
2852716154837643、2852734653847161、2862171456834753、2862357436854171 
3171358642752468、3171368524726548、3171384562742586、3171386425724685 
3181346752482657、3181347562482576、3181367245286475、3181375264285746 
3456384752612187、3467384516172582、3478324625718165、3485374265281716 
3485374615182762、3486374151682752、3564378546121728、3568327526418174 
3568347526428171、3568371516428724、3574386541712682、3582372564181746 
3586371514682742、3627328564171548、3628327561418574、3645378465121728 
3672382465714185、3681315764285247、3681317465284275、3681317562482574 
3726328457614158、3746385427625181、3758316157428624、3782342567481516 
3825327465814176、3845367425826171、3847326425871615、3847362452876151 


3852362754816147、3857316154872642、3861315746825427、3862352746851417 
4161748356237258、4161748526327538、4161845726325837、4181742562387536 
4257248653171368、4258246751318637、4268243756318157、4268247516138573 
4275248635713168、4278246151738653、4567348536271218、4567841516372832 
4578141563728326、4586347532682171、4617148562372538、4618147365238275 
4635843765121827、4637843265271815、4672842365731815、4682542763581317 
4683547362582171、4716148537623528、4718143567328526、4718146257238653 
4738543627528161、4738643257268151、4752842657131863、4753648357261218 
4758141657238263、4782542637583161、4815146735823627、4835743625827161 
4852642753861317、4853647352862171、4857141653872362、4862742356837151 
5161785246237483、5161845736423827、5171835463724826、5181365734286247 
5181375632482764、5181725623487364、5247285463171386、5248275461318736 
5283275364181746、5286235743681417、5364835746121827、5374835641712862 
5378235264718146、5378435624728161、5618145763428327、5618175264238743 
5628425764318137、5671815364732842、5673485364712182、5716185347632482 
5724825647131863、5728325637418164、5746385437612182、5746825427631813 
5748625427368131、5784265247386131、5814165743826327、5814175642832763 
5817135643872462、5823725364817146、5824625743861317、5827425634873161 
5841715463827326、5864275246831713、6151748653427328、6151847652432873 
6171825624735843、6171834653742852、6181473654382752、6181537643582472 
6237283645171485、6238273651418754、6257248653471318、6258237653418174 
6274258643751318、6275284635743181、6278234653748151、6284273645381715 
6285247635483171、6357438654271218、6357832652471814、6378131645728425 
6384537642582171、6417184635273285、6418174625328735、6471814635723825 
6471814652732853、6475384635712182、6475824625731813、6485724625387131 
6714185647235283、6734583647512182、6751814657342832、6752842657431813 
6814157643852372、6827325634875141、6831713645827425、6852472654831713 
7131683475264285、7131683572462584、7131853672452864、7141568473526328 
7141586472532683、7141863475326825、7236283475614185、7238243675418165 
7245268475316138、7245286475131683、7246258473651318、7263285376415184 
7281215673485364、7281216475384635、7283246375481615、7318134675248265 
7345638475261218、7368131576428524、7385236275481614、7386131574682542 
7386235274685141、7416184572632583、7425824675131863、7426824375631815 
7463584376512182、7468254276358131、7481514673582362、7485264275386131 
7516184573642382、7518136573428624、7528623574368141、7536483574612182 
7561814576342832、7562842576431813、7581416574382632、7582462574386131 
7812162574836543、7813156374852642、7823625374865141、7831613574862542 
8121625748365437、8121627538463574、8121724568347536、8121726358437654 
8131563748526427、8131573468524726、8131743568427526、8141673458362752 
8236253748651417、8237243568471516、8246257438653171、8247263458376151 
8253267358416174、8271215648735463、8271216458734653、8273264358746151 
8316135748625427、8352732658417164、8357236258471614、8372632458764151 
8416174358632752、8426724358637151、8427524638573161、8451714658237263 
8456274258631713、8457264258376131、8514167548236273、8527326538471614 
8613175368425724、8631713568427524、8642572468531713、8642752468357131

看不懂