悲哉!难题!壮哉!难题!

解析：
（1）f(x)=lnx-[a(x-1)]/(x+1)
则f'(x)=(1/x)-[2a/(x+1)²]
要f(x)在（0，+∞）上为增函数，则当x＞0时，f'(x)≥0，
即2a≤(x+1)²/x对x∈0，+∞）恒成立.
当x>0时，(x+1)²/x=x+(1/x)+2≥4(当且仅当x=1时，不等式取等号)
所以当2a≤4时,即a≤2满足条件
所以a的取值范围为(-∞,2]


(2)由第一问可知函数f(x)=1nx-2(x-1)/(x+1)在(0,+∞)为增函数
又f(1)=0,所以当0<x<1时，f(x)<0,当x＞1时，f(x)>0
令x=m/n,(m>0,n>0),则f(m/n)=(1nm-1nn)-2(m-n)/(m+n)
不妨设m>n,则m/n>1,那么f(m/n)>0,即(1nm-1nn)-2(m-n)/(m+n)>0
所以(1nm-1nn)>2(m-n)/(m+n)
又m>n时，1nm>1nn,1nm-1nn>0
所以(m-n)/(lnm-lnn)<(m+n)/2


谢谢老师。

那如果有m小于等于n的情况呢？