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我没有验证{An}，直接验证的Sn.这个是等价的.
不动点法的结果是：
Sn=√3*ai/【1-e^{-π/[3*2^(n-1)]}】 -a/2 *(1+√3i).(n∈N*)
三角换元法的结果是：
Sn=√3/2 *a*cot[π/(3*2^n)] -a/2.(n∈N*)
利用cot的复变域公式
cotx=[e^(ix)+e^(-ix)]*i/[e^(ix)-e^(-ix)].
得到两者是完全等价的.
因此这两个通项公式是完全等价。不可否认三角换元的方法是最简洁的，但也是不容易想到的。
顺便一说我也是纯手算，没用数学软件。
我觉得不能因为计算繁琐就放弃计算，有的题目就算知道做法也需要动手试试。
我个人觉得这是作为研究数学的人的一种应有的作风与态度。
不动点法的结果是：
Sn=√3*ai/【1-e^{-π/[3*2^(n-1)]}】 -a/2 *(1+√3i).(n∈N*)
三角换元法的结果是：
Sn=√3/2 *a*cot[π/(3*2^n)] -a/2.(n∈N*)
利用cot的复变域公式
cotx=[e^(ix)+e^(-ix)]*i/[e^(ix)-e^(-ix)].
得到两者是完全等价的.
因此这两个通项公式是完全等价。不可否认三角换元的方法是最简洁的，但也是不容易想到的。
顺便一说我也是纯手算，没用数学软件。
我觉得不能因为计算繁琐就放弃计算，有的题目就算知道做法也需要动手试试。
我个人觉得这是作为研究数学的人的一种应有的作风与态度。
第一问到底是什麽呢
解：
已知道{An}是各项为正的数列。所以可以进行通分得到：
8A(n+1)^4+3An-3+An+A(n-1)=0.(n≥2)
这是个2阶四次线性常系数非齐次递推关系。由于是高阶而且非齐次，
优先考虑三角代换。而且是同性的(指公式中不含其他三角函数项)三角代换倍角公式。
于是考虑使用余弦函数的4倍角公式和2倍角公式。
cos4α=8cos^4α-8cos^2α+1.
cos2α=2cos^2α-1.
设：An=kn*cosαn；A(n+1)=k(n+1)*cos(αn/2)；A(n-1)=k(n-1)*cos(2αn).
即是说，α(n+1)=αn/2.(n∈N*) {αn}成以1/2为公比的等比数列.
代入递推式得到：
8k(n+1)^4*cos^4(αn/2)+4kn*cosαn+k(n-1)*cos(2αn)-3=0.(n≥2)
将cosαn和cos(2αn)用倍角公式展开代入得到：
[8k(n+1)^4+8k(n-1)]*cos^4(αn/2)
+[8kn-8k(n-1)]cos^2(αn/2)
+[k(n-1)-3-4kn]=0.(n≥2)
若要让该式成立，就必须让中括号内的系数恒为零.
解得kn≡-1.(n∈N*)
所以该题所做的三角代换是：An=-cosαn.(n∈N*)
由于首两项是1/9与2/3.可求得
α1=arccos(-1/9)，α2=α1/2=arccos(-2/3).
所以An=-cos[α1/2^(n-1)]=-cos{[arccos(-1/9)]/2^(n-1)}.(n∈N*)
解毕.
已知道{An}是各项为正的数列。所以可以进行通分得到：
8A(n+1)^4+3An-3+An+A(n-1)=0.(n≥2)
这是个2阶四次线性常系数非齐次递推关系。由于是高阶而且非齐次，
优先考虑三角代换。而且是同性的(指公式中不含其他三角函数项)三角代换倍角公式。
于是考虑使用余弦函数的4倍角公式和2倍角公式。
cos4α=8cos^4α-8cos^2α+1.
cos2α=2cos^2α-1.
设：An=kn*cosαn；A(n+1)=k(n+1)*cos(αn/2)；A(n-1)=k(n-1)*cos(2αn).
即是说，α(n+1)=αn/2.(n∈N*) {αn}成以1/2为公比的等比数列.
代入递推式得到：
8k(n+1)^4*cos^4(αn/2)+4kn*cosαn+k(n-1)*cos(2αn)-3=0.(n≥2)
将cosαn和cos(2αn)用倍角公式展开代入得到：
[8k(n+1)^4+8k(n-1)]*cos^4(αn/2)
+[8kn-8k(n-1)]cos^2(αn/2)
+[k(n-1)-3-4kn]=0.(n≥2)
若要让该式成立，就必须让中括号内的系数恒为零.
解得kn≡-1.(n∈N*)
所以该题所做的三角代换是：An=-cosαn.(n∈N*)
由于首两项是1/9与2/3.可求得
α1=arccos(-1/9)，α2=α1/2=arccos(-2/3).
所以An=-cos[α1/2^(n-1)]=-cos{[arccos(-1/9)]/2^(n-1)}.(n∈N*)
解毕.
