1.（初二）如图，在△ABC中，BC边上依次有B，D，E，C，AC边上依次有A，G，F，C，有BD=CE=BC/4，CF=AG=AC/4，BF交AE于点J，交AD于点I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC=1，求S四边形KHIJ面积。



1.解：连接IE，EF，IK

设S△BIH为x1，S四边形IJED为y1，S△BDI为z1，S△AKG为z2，S四边形KGFJ为y2，S△AKH为x2
易知x1+y2=x2+y1，x1+z1=x2+z2，z1+y1=z2+y2
解得x1=x2.，y1=y2，z1=z2，
在四边形BIKA中，S△BIH=S△AKH，∴S△BKI=S△AKI，从而易证BA//IK，同理可得，AB//IK//EF
根据比例线段可得EF=AB/4，故S△EFC=S△ABC/16=1/16，也可得S△EFJ=S△ABJ/16，可设S△EFJ面积为a，则有1-（a+16a）=1-a-1/16，解得a=3/80
同理，可根据比例线段求得S△ABJ=3/5，S△BJE=3/20，
在△BIE和△ADE中，可知（1/2-2z1）/（4+1）+3z1=3/20，解得z1=1/52，从而得z1=z2=1/52，并且可求得y1=y2=17/130，S△BIE：S△IJE=BI：IJ=5：8，故S四边形ABIK为S△ABJ-64/169S△ABJ=63/169，S△ABI=3/13
设S△ABH为b，则S△HIK=64b/169
根据比例线段，可求出S△AIK= S△ABI*（8/13）=24/169，故S△ABI-S△AIK=b-63b/169=15/169，解得b=1/7，则S△HIK为64/1183，
根据比例线段易求得S△HIJ=S△ABJ*（64/169）=192/845
∴S四边形HIJK=S△HIJ+S△HIK=64/1183+192/845=128/455
∴正解为S四边形HIJK=128/455


2.（高一）设a，b，c皆为正数.a，b，c中至少有一个不为1.且a^x*b^y*c^z=a^y*b^z*c^x=a^z*b^x*c^y=1,求实数x，y，z应满足的关系。

2.解：a^x*b^y*c^z=1（1），a^y*b^z*c^x=1（2），a^z*b^x*c^y=1（3）。
令（1）（2）（3）三式相乘，则abc^(x+y+z)=1
故有x+y+z=0或abc=1.
当abc=1，故有a=1/bc=(bc)^(-1)(4)，a，b，c中至少有一个不为1。
不妨设a≠1，故bc≠1，将（4）代入（1）中得b^(y-x)*c^(z-x)=1（5）
对此分类讨论：当b=c=1时，（5）成立，显然不符上述取值。当b与c互为倒数时，y-x=z-x，（5）成立，显然不符上述取值。当y-x=z-x=0时，（5）成立，符合上述取值。故有x=y=z时（5）一定成立。
综上所述x+y+z=0或x=y=z。


3.（原创）设方程f（x）=logx（x+1）（x＞0且x≠1），试求f（x）的单调性与单调区间。

3.解：对此方程进行分类讨论。
（A）当0＜x＜1时，设有0＜x1＜x2＜1，f（x1）=logx1（x1+1），f（x2）=logx2（x2+1）.则f（x1）-f（x2）=logx1（x1+1）-logx2（x2+1）=lg（x1+1）/lgx1-lg(x2+1)/lgx2=[lgx2*lg(x1+1)-lgx1*lg(x2+1)]/(lgx1*lgx2).
对于lgx1，有（10-1）（x1-1）＜0，则lgx1＜0，同理lgx2＜0，且x1＜x2，由单调性知lgx1＜lgx2＜0，则0＜-lgx2＜-lgx1（1）.对于lg（x1+1），有（10-1）（x1+1-1）＞0，故lg（x1+1）＞0，同理lg（x2+1）＞0，且x1＜x2，由单调性知0＜lg（x1+1）＜lg（x2+1）（2），将（1）（2）两不等式相乘，有-lgx2*lg(x1+1)＜-lgx1*lg(x2+1),则lgx2*lg(x1+1)-lgx1*lg(x2+1)＞0,由lgx1*lgx2＞0，故[lgx2*lg(x1+1)-lgx1*lg(x2+1)]/(lgx1*lgx2)＞0，则f（x1）-f（x2）＞0，由x1＜x2得f（x）在（0,1）区间上呈单调递减。
(B)当1＜x时，取1＜x1＜x2，此时不妨设f(x1)=f1,f(x2)=f2,则x1^f1=x1+1,x2^f2=x2+1,x1+1=x1^f1=x1^(f1-f2) * x1^f2＜x1^(f1-f2) * x2^f2=x1^(f1-f2) * (x2+1)，则有（x1+1）/（x2+1）＜x1^(f1-f2),可知（x1+1）/（x2+1） ∈（0,1），即在x→+∞时（x1+1）/（x2+1）将无限趋于1。相当于1≤x1^(f1-f2),则0≤f1-f2，故f2≤f1，而f1=f2是由x→+∞时决定的，因此只有f2＜f1，即f（x2）＜f（x1），由x1＜x2知 f（x）在（1,+∞）区间上呈单调递减。
综上所述，f（x）=logx（x+1）（x＞0且x≠1）在（0,1）和（1,+∞）上呈单调递减

关于第三题得扩展：
由此我们可以知道f（x）=logx（x+1）（x＞0且x≠1）的值域为（-∞，0）∪（1，+∞）.
对于在同一定义域内任意的x1＜x2，都有logx1（x1+1）＞logx2（x2+1），对于x∈（0,1），其对应的值域有（-∞，0），对于x∈（1，+∞），其对应的值域有（1，+∞）.
可以轻易比较log2（3）与log3（4）这类对数的大小，比如log2（3）＞log3（4）.log0.2(1.2)＞log0.9(1.9)等等。


4.（原创）两种同溶质溶液A，B. A溶液的密度为ρ1，质量分数为w1，B溶液的密度为ρ2，质量分数为w2. 当两种溶液等体积混合时，试求证若（ρ1-ρ2）（w1-w2）＞0，则混合溶液质量分数w0＞（w1+w2）/2

4.证明：取等体积V混合，则w0=（Vρ1w1+Vρ2w2）/（Vρ1+Vρ2）=（ρ1w1+ρ2w2）/（ρ1+ρ2）
当w0＞（w1+w2）/2时，则有（ρ1w1+ρ2w2）/（ρ1+ρ2）＞（w1+w2）/2，则2ρ1w1+2ρ2w2＞（ρ1+ρ2）（w1+w2）,ρ1w1+ρ2w2-ρ1w2-ρ2w1＞0，即（ρ1-ρ2）（w1-w2）＞0，故原命题得证。


关于第四题得扩展：
由此我们知道判定两同溶质溶液混合后的溶质质量分数与其平均值的关系.同溶质溶液A，B. A溶液的密度为ρ1，质量分数为w1，B溶液的密度为ρ2，质量分数为w2，当（ρ1-ρ2）（w1-w2）＞0，W（now）＞W（average），当（ρ1-ρ2）（w1-w2）=0，W（now）=W（average），当（ρ1-ρ2）（w1-w2）＜0，W（now）＜W（average）.运用此技巧可轻松判定关于溶液混合后的质量分数问题。例如：质量分数为25%的氨水密度数0.92g/cm3，质量分数为5%的氨水密度数0.98g/cm3，取等体积混合后所得氨水质量分数-A.大于15% B.等于15% C.小于15% D.无法确定.可知（25%-5%）（0.92-0.96）＜0，那么W（now）＜W（average），即W（now）＜15%，故选C.另外，取同质量混合时，W（now）=W（average），关于这一点可以推导出来，不再详细论述。


5.伯努利（Bernoulli）不等式（实数幂的推广）的证明（原创）
原命题如下：对任意实数a，当a＜0或a＞1时，有(1+x)^a≥1+ax，当0＜a＜1时，有(1+x)^a≤1+ax，取等条件为x=0（a=0或a=1同样成立）

5.先证明一个引理：在某一区间上连续可导的凸（或凹）函数f(x)过任意区间内的点x=x0作切线，切线解析式为y=F(x),对于该区间上的任意一点x都有F(x)≥f(x)[或F(x)≤f(x)]，且仅当x=x0时等号成立。
证明：设f(x)在该区间上的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，取x=x0，则y-f(x0)=(x-x0)f'(x0),即y=F(x)=(x-x0)f'(x0)+f(x0),当该区间上函数为下凹时，有f''(x)＞0，令x=x0+Δx，y=f'(x0)Δx+f(x0),结合拉格朗日中值定理有f(x0+Δx)-f(x0)=Δxf'(x0+θΔx)(0＜θ＜1），则f'(x0+θΔx)-f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx-f'(x0) ,由于f''(x)＞0，故f'(x)单调递增，当Δx＞0时，有f'(x0+θΔx)-f'(x0)＞0，故[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx-f'(x0)＞0，得到f(x0+Δx)＞f'(x0)Δx+f(x0)=y=F(x),故f(x)＞F(x),讨论Δx=0即x=x0时等号显然成立。对于f''(x)＜0，即为上凸函数，同理可证。

5.证明引理后，我们设y=f(x)=(1+x)^a,y'=a(1+x)^(a-1),y''=a(a-1)(1+x)^(a-2),0＜a＜1时，有y''＜0，故f(x)为凸函数，令x=x0=0，y'=a，切线解析式F(x)求得为y=F(x)=ax+1,结合前面的引理，不难得到ax+1≥(1+x)^a，取等条件为x=0，同理对于a＜0或a＞1时同样证明。

关于第五题得扩展：
不妨定义广义伯努利不等式（General Bernoulli Inequality），对于任意实数k，a，x＞-k，当a＜0或a＞1时，（k+x)^a≥1+ax+a(k-1)，当0＜a＜1时，有（k+x)^a≤1+ax+a(k-1)，取等条件为x=1-k（a=0或a=1同样成立）,不难看出，上述不过是该扩展的一个应用（即k=1时）。对于该扩展的证明，暂且从略。