考虑e^f(z)吧，f(z)模一定等价于它的实部一定，幅角一定等价于它的虚部一定。我当时证明这个问题是通过习题里提示的一组等价命题推出来的，具体忘了，回去给你找书。

反了吧，ln(f(z))好像可以，但是，我不会证明f(z)解析时，ln(f(z))也解析

噗…当时急着上课，没注意…

我记得这东西在梁昆淼的数理方法上是例题吧……

如果f不为0，那显然lnf解析。

刘维尔定理。。。。。。。。。。。。。

最傻的办法是|f(z)|^2=u^2+v^2，tan arg f(z)=v/u，然后求导得到有关∂u/∂x和∂u/∂y的线性方程组，由于系数行列式不为零，故只有零解。

模可以这样证：偌f(z)不是恒为0，由f*(z)f(z)=c^2得f*(z)是解析函数。很容易证明若原复变函数跟共厄复函数都解析，f(z)是常数。 幅角：由幅角恒定可以得到：u=0或者v/u=a。前者很容易证明f(z)是常函数，后者可以得到v_x=au_x，v_y=au_y，带入CR方程就能得到所有偏导都是0，所以它恒为常数。

其实我刚刚想得也是9楼的办法，10楼是我查作业本的结果……作业是抄同学的，记忆比较浅…

很显然么？我看不出来啊

Cauchy-Riemann定理，积分...

12…你是说由共轭函数解析推它是常函数？把f(z)跟f*(z)解析都带入CR方程，你就会发现所有偏导都为0，因此都是常函数。

Cauchy-Riemann的一个等价的表达是 ∂f(z, z*)/∂z* = 0，也就是 f=f(z)。既然∂f/∂z* = 0那么显然 ∂ln(f)/∂z* = 0 了。