一道趋于无穷的极限概率问题求解

沙发自己来，贴吧第一定律！…………~zZ

你这里用“男孩出生率”这个名字似乎不是很恰当，可能会与其它概念相混，就说“出生人口中男性的比例”较合适。
另外，建议你先将题目限制在一对生育夫妇， 而且规定其生育年龄（女45岁后就不能生育？）、生育周期（1.5年后才能生出第二胎？）、、、、、
好多因素会约束。。。。

在生每一个小孩生男生女概率一样的情况下, 你的问题男孩的比例仍然是50%. 一般地, 你这样的约定下,不会改变男女的比例. 比如, 如果原来生男孩的比例是50.5%的话,那么在你的方式下,男孩的比例还是 50.5%.
换言之,允许第一胎生女孩的夫妻再生一胎, 不会改变性别比例.
如果假设夫妻第一胎生男生女的比例是一定的, 但每一对夫妻会倾向于生男或倾向于生女, 那么你给的方式下, 女性的比例会提高.
改变性别比的社会原因主要是溺婴和选择性流产.

你也可以考虑每个家庭男孩女孩的平均数.
自然, 男孩的个数是1个,而女孩的个数是 1/2+1/4+1/8+...=1

同意。因此我在3 楼中建议楼主不要用“男孩出生率”（否则就是你说的 50% ），而应该用“出生人口中男性的比例”（例如，一个家里的孩子，男孩所占的比例）。
个人认为，实际上楼主想关心的是：过了n 年后， （一个家庭或一个国家）人口中，男女比例是多少。这就涉及到生育年龄和生育周期等。。。

这个问题跟生育年龄和周期没有关系---如果生男生女的概率与年龄无关的话(实际上这里假设是不依赖的). 即使那一家原本要生到有男孩为止的,突然不想生或不能生了, 都不影响这个比例.

我的意思是： 人家楼主想要问不是你所说的“出生性别比例”（这个上帝已经安排好了）， 而是： 家庭或国家的人口中男女的比例。一对夫妇，今年元月1日生了一个女儿，母亲不可能在6月1日又生一个吧？ 一对夫妇生至60岁了，还是生女儿，母亲不会在61岁了还生育吧？

刚才发现自己考虑时跑题、串题了。。。。生育年龄和生育周期应该不影响男女比例会影响人口总数和人口增长速度但应该不影响男女比例。
楼主的问题可以用概率链求解。
我这里试用直观的方法求解。
假设从某一个时刻起计算， 整个地区内有 a 对育龄夫妇，他们“同时”生育由于生男孩女孩的概率均为1/2， 故
生第一胎时， 有a/2 是 男孩，a/2 是 女孩。
a/2 对夫妇已生男孩，停止生育。
剩下的 a/2 对第一胎生女孩的夫妇继续生第二胎，
生第二胎时， （a/2)/2 = a/2^2 对夫妇生 a/2^2 个男孩，另外的 a/2)/2 = a/2^2 对夫妇生 a/2^2 个男孩。
。。。。。。。
生第n胎时, a/（2^n)对夫妇生 a/（2^n)个男孩，另外的 a/（2^n) 对夫妇生 a/（2^n)个男孩。
.......
列表如下
第k胎 男 女
1 a/2^1 a/2^1
2 a/2^2 a/2^2
3 a/2^3 a/2^3
4 a/2^4 a/2^4
.............
n a/2^n a/2^n
生至第n 胎时，
社会上出生的男性为
M(n) = （1，n)∑[a/(2^k)] = a*[1- 1/(2^n)]
而社会上出生的女性为
F(n) = （1，n)∑[a/(2^k)] = a*[1- 1/(2^n)]
显然， M(n) = F(n), M(n)/F(n) = 1, 即男女比例为 1：1 .
另外，取极限
(n --> ∝ ) M(n) = (n --> ∝ ){a*[1- 1/(2^n)]} = a = M
(n --> ∝ ) F(n) = (n --> ∝ ){a*[1- 1/(2^n)]} = a = F
显然， M = F = a, M/F = 1, 即无论生多少代（无穷代），男女比例为 1：1 .
而且可以看出，按这个规律自由生育，a对夫妇（共 2a 个人） 所生的孩子最多为 a + a = 2a 个，正好等于父母的人数（很有意思）


试推广至男女出生概率不同的情况如下：
假设从某一个时刻起计算， 整个地区内有 a 对育龄夫妇，他们“同时”生育，且生男孩概率为p， 生女孩概率为 q， p + q = 1
生第一胎时， 有 pa 是 男孩，qa 是 女孩。
pa 对夫妇已生男孩，停止生育。
剩下的 qa 对第一胎生女孩的夫妇继续生第二胎，
生第二胎时， pqa 对夫妇生 pqa 个男孩，另外的 q^2*a 对夫妇生 q^2*a 个女孩。
生第三胎时， p*q^2*a 对夫妇生 p*q^2*a 个男孩，另外的 q^3*a 对夫妇生 q^3*a 个女孩。
。。。。。。。
生第n胎时, p*q^(n-1)*a对夫妇生 a/（2^n)个男孩，另外的 q^n*a 对夫妇生 q^n*a 个女孩。
.......
列表如下
第k胎 男 女
1 pa qa
2 pqa q^2 a
3 p*q^2*a q^3 * a
4 p*q^3*a q^4*a
.............
n p*q^(n-1)*a q^n * a
生至第n 胎时，
社会上出生的男性为
M(n) = （1，n)∑[pa*q^(k-1)] = pa*[1- q^n)]/(1-q) = a*[1- q^n]
而社会上出生的女性为
F(n) = （1，n)∑[a*q^k)] = aq*[1- q^n]/(1-q) = aq*[1- q^n]/p
显然，M(n)/F(n) = p/q , 即男女比例为 p:q
另外，取极限
(n --> ∝ ) M(n) = (n --> ∝ ){ a*[1- q^n]} = a = M
(n --> ∝ ) F(n) = (n --> ∝ ){ aq*[1- q^n]/p} = aq/p = F
显然， M/F = p/q , 即无论生多少代（无穷代），男女比例为 p:q
而且可以看出，按这个规律自由生育，a对夫妇（共 2a 个人） 所生的孩子最多为 S = a + aq/p = a*(1+q/p) 个，
1） 如果 p/q > 1 , 则 S > 2a ， 即出生的孩子的人数大于父母的人数
2） 如果 p/q < 1 , 则 S < 2a ， 即出生的孩子的人数小于父母的人数
1） 如果 p/q = 1 , 则 S = 2a ， 即出生的孩子的人数等于父母的人数
当然，这个结论是显然易见的


为什么我老觉得男孩应该比女孩多啊……?另外谢谢吧友们，我再仔细看看

我想我已经懂了，谢谢@parkteng2011 和 @ytdwdw 了，非常感谢

不一定是男孩多，因为生下男孩后这对夫妇就停止生育了。。。。
会不会是因为你觉得这个社会里男人男找到老婆而让你产生如此错觉啊？ 呵呵
我是第一次见这一类问题，尽管我有一点“社会上男女性别比例相等”的原始概念，但看题目第一眼时我的感觉与你的正好相反，我反而觉得女孩可能比男孩多，因为那些生女孩的夫妇生了女儿后又继续生，下一胎是女儿的话又继续生。。。。直到生了男孩为止。 这样的话，不是女孩比男孩多吗？ 呵呵
我列的式子应该很直观地用数学证明了“男女比例相等”。
还有一种是用概率链来解，这里就不进行了。


呵呵，每个人的思维习惯不一样T_T，