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第一问
a(n+1)/(2*an)=an/4+1/an-1/2
注意到an>4的时候单调增，且
a(n+1)/(2*an)>1
由数学归纳法可验证此结论以及an的恒正、单调增
第二问
a(n+1)/2-1/2=(an/2)^2-an/2+1/4+1/4=(an/2-1/2)^2+1/4>(an/2-1/2)^2
a(n+1)>2*(3/2)^(2^n)+1>2*(3/2)^(2^n)
a(n+1)/2=(an/2)^2-an/2+1<(an/2)^2
a(n+1)/an>(2*(3/2)^(2^n))/(2^(2^(n-1)+1))=3^(2^n)/(2^(3*2^(n-1)))=(3/(2*根号2))^(2^n)
n=1——5时可单独验证
注意到n>=6时
2^n*ln(3)-2^n*ln(2*根号2)>n*ln(3/2)
可证明
第三问
1/an=1/(an-2)-1/(a(n+1)-2)
1/(a1-2)=1/(1-2)=-1
∑(k=1——n)(1/ak)=1/(a1-2)-1/(a2-2)+1/(a2-2)-1/(a3-2)+…+1/(an-2)-1/(a(n+1)-2)=1/(2-a(n+1))-1
可由数学归纳法证明，当n>=5时
a(n+1)<2-1/n
从而命题得证
a(n+1)/(2*an)=an/4+1/an-1/2
注意到an>4的时候单调增，且
a(n+1)/(2*an)>1
由数学归纳法可验证此结论以及an的恒正、单调增
第二问
a(n+1)/2-1/2=(an/2)^2-an/2+1/4+1/4=(an/2-1/2)^2+1/4>(an/2-1/2)^2
a(n+1)>2*(3/2)^(2^n)+1>2*(3/2)^(2^n)
a(n+1)/2=(an/2)^2-an/2+1<(an/2)^2
a(n+1)/an>(2*(3/2)^(2^n))/(2^(2^(n-1)+1))=3^(2^n)/(2^(3*2^(n-1)))=(3/(2*根号2))^(2^n)
n=1——5时可单独验证
注意到n>=6时
2^n*ln(3)-2^n*ln(2*根号2)>n*ln(3/2)
可证明
第三问
1/an=1/(an-2)-1/(a(n+1)-2)
1/(a1-2)=1/(1-2)=-1
∑(k=1——n)(1/ak)=1/(a1-2)-1/(a2-2)+1/(a2-2)-1/(a3-2)+…+1/(an-2)-1/(a(n+1)-2)=1/(2-a(n+1))-1
可由数学归纳法证明，当n>=5时
a(n+1)<2-1/n
从而命题得证
