1. 群的分解
对群进行分解是为了研究群的结构和内部性质。
陪集表示将一个元素作用于一个子群的结果。如果两个元素作用于一个子群产生同样的结果，那么这两个元素有某种等价性，由此可以把群划分成一组等价类。值得注意的是，每个等价类就等于其中元素对于子群的陪集。一个子群的任何陪集和子群等势，从而所有这些等价类等势。所有等价类大小相等，这是共陪集关系的重要特征，用于有限群，便得到Lagrange定理。
对有限群，由Lagrange定理可知，子群的阶是群的阶的因子。这一结论的得出，起源于将子群去和群中每一元素相作用的尝试，为什么要这样做，有着更深刻的意义等待我们去探讨。
群的另一种分解是通过共轭关系。用一个元素a从左方作用于x, 再用a-1从右方作用，得到元素y, 对元素进行操作之后，再进行一个逆操作，未必能完全还原，但可以想见，y和x具有某种等价性。如果存在这样的a，则称y是x的共轭。共轭是一种等价关系，但共轭类不一定等势。对元素x，用任一个元素a可以求出x的一个共轭y，不同的a有可能求出同一个y，这是一种等价关系，它有多少等价类，x就有多少共轭。研究这种等价关系，令人吃惊的是，其划分是均匀的(如果axa-1 = bxb-1，则xa-1b = a-1bx，a-1b和x可交换，而所有和x可交换的元素构成一个群，即x的正规化子N(x)，a-1b∈N(x)，那么a和b共陪集，反过来，如果aN(x)=bN(x)，也可得出axa-1 = bxb-1，这一等价关系是一个共陪集关系，等价类大小都相等)，这是一个重要的结论，元素的共轭类有多大，由此可以计算。将有限群做共轭类分解，所有共轭类的大小相加等于群的阶，这就是群的分类方程。
群的两种分解都是利用等价关系，其中陪集分解也是同余关系，可以抽象出商群。等陪集关系的等价类是等势的。共轭关系的等价类不一定等势，但是在确定元素x的共轭类时，用到了x的正规化子，这是一个子群，它的共陪集等价类生成x的同一共轭。
2. 同态和同构，商代数
同态和同构是一条比较和联系的研究路线，商代数是一条深入和抽象的路线。
2. 1 代数系统的同态与同构，代数系统上的同余关系和代数系统的商代数。
同态是同类型代数系统间的一种映射，代数系统意义上的映射，包括元素和运算的映射。首先定义运算的映射：对于从一个系统到另一个系统的元素映射，如果元素运算结果的映射等于元素映射的运算结果，则该运算也能从前一系统映射到后一系统。然后映射整个代数系统：如果元素映射能将一个系统中所有的运算映射到另一个系统，则称其为从前者到后者的同态。可以证明，前一系统元素集在同态映射下的象对后一系统的运算构成代数系统，是后一系统的子代数，称为同态象。如果同态是双射，则称为同构，并可称两个代数系统同构。从抽象的角度看，同构的代数系统是无区别的，其实映射和抽象有着密切关系。
根据元素间的等价关系，可以对代数系统进行抽象。首先定义一个运算的抽象性：如果运算结果不区别等价元素，那么运算过程也可以不区别等价元素，这称为等价关系对运算具有置换性质。然后抽象整个代数系统：如果一个等价关系对代数系统上所有运算都具有置换性质，则该等价关系称为代数系统上的同余关系；对于代数系统上的同余关系，可以证明，其等价类对扩展意义下的原有运算构成代数系统，称为商代数。所谓扩展意义的原有运算，定义为等价类运算结果的代表元等于代表元运算的结果，其实就是从前述运算的抽象性来的。不难知道，存在从代数系统到其商代数的同态。其实商代数与同态是相互联系的。一个系统到另一个系统的同态映射可以导出前者上的等价关系，可以证明是前者上的同余关系，从而产生一个商代数。
为什么会有这种联系呢？商代数是用等价关系来抽象代数系统的结果，而同态可以映射一个代数系统。映射的过程实际也是一种抽象，一个系统的运算可以映射到另一个系统，其实在前一个系统形成了一种置换性质；反过来，用等价类作抽象也是一种映射，等价关系对某种运算具有置换性质，其实产生了原运算到一种抽象运算的映射。正如前面所说，映射和抽象有密切的关系，一个代数系统的映射和一个代数系统的抽象将产生同样的结果，代数系统的同态象和商代数是同构的。
进一步，在有限个元素的代数系统上，同余关系(及其商代数)是可数的，这意味着代数系统的同态也是可数的，虽然一个代数系统可映射到各种各样的同类型代数系统，但是我们只关心其映射关系，这就可以理解同态的可数性。所有的自同态中包括了所有可能的同态情况，但是可能有重复。
22 群和环的同态，商群和商环
2.2.1 群和环的同态
同态不但是元素的映射，具有保运算性，还能映射子代数关系。群同态把子群映射为子群，环同态把子环映射为子环。在一定条件下，同态还能保持更多的性质。同态能把正规子群映射为同态像的正规子群，把理想映射为同态像的理想。
反向考察同态也有很好的结论。对于群同态，子群的原象是子群，正规子群的原象是正规子群(习题17.51)；对于环同态，子环的原象是子环，理想的原象是理想(定理18.7)。群同态核是正规子群，环同态核是理想。由此，群同态核是正规子群，环同态核是理想({e}是群的正规子群，{0}是环的理想)。
2.2.2 正规子群
正规子群比普通子群有更好的性质，一个元素从左方和从右方作用于正规子群所得的结果是相同的。
对正规子群的等陪集关系是群上的同余关系，这使得在其陪集分解结果上可以定义更抽象运算，
构成商代数，不难理解，群的商代数仍然是群，称为商群。
从构成来看，正规子群可以划分成若干共轭类，选取元素时保持共轭类的完整性，从整体来看，一个正规子群等于它的所有共轭子群。
2.2.3 环的理想
在含幺环中，
含有可逆元的理想必等于整个环。一个非平凡理想必不含可逆元，那么所有不可逆元能否构成一个理想呢？这是做18.26题时提出的问题(条件是交换含幺环)，现在看未必成立，不过也不知道反例。(感谢peter帮我找到了反例!一个反例是: R为模5整数环，即R=({0，1，2，3，4，5}，#，$)，#是模5加，$是模5乘，不可逆元的集D={0，2，3，4}，D对加法不封闭，不构成群。这里要知道一个结论:(a,b)=1当且仅当存在x,y∈Z，使得ax+by=1。)
对群进行分解是为了研究群的结构和内部性质。
陪集表示将一个元素作用于一个子群的结果。如果两个元素作用于一个子群产生同样的结果，那么这两个元素有某种等价性，由此可以把群划分成一组等价类。值得注意的是，每个等价类就等于其中元素对于子群的陪集。一个子群的任何陪集和子群等势，从而所有这些等价类等势。所有等价类大小相等，这是共陪集关系的重要特征，用于有限群，便得到Lagrange定理。
对有限群，由Lagrange定理可知，子群的阶是群的阶的因子。这一结论的得出，起源于将子群去和群中每一元素相作用的尝试，为什么要这样做，有着更深刻的意义等待我们去探讨。
群的另一种分解是通过共轭关系。用一个元素a从左方作用于x, 再用a-1从右方作用，得到元素y, 对元素进行操作之后，再进行一个逆操作，未必能完全还原，但可以想见，y和x具有某种等价性。如果存在这样的a，则称y是x的共轭。共轭是一种等价关系，但共轭类不一定等势。对元素x，用任一个元素a可以求出x的一个共轭y，不同的a有可能求出同一个y，这是一种等价关系，它有多少等价类，x就有多少共轭。研究这种等价关系，令人吃惊的是，其划分是均匀的(如果axa-1 = bxb-1，则xa-1b = a-1bx，a-1b和x可交换，而所有和x可交换的元素构成一个群，即x的正规化子N(x)，a-1b∈N(x)，那么a和b共陪集，反过来，如果aN(x)=bN(x)，也可得出axa-1 = bxb-1，这一等价关系是一个共陪集关系，等价类大小都相等)，这是一个重要的结论，元素的共轭类有多大，由此可以计算。将有限群做共轭类分解，所有共轭类的大小相加等于群的阶，这就是群的分类方程。
群的两种分解都是利用等价关系，其中陪集分解也是同余关系，可以抽象出商群。等陪集关系的等价类是等势的。共轭关系的等价类不一定等势，但是在确定元素x的共轭类时，用到了x的正规化子，这是一个子群，它的共陪集等价类生成x的同一共轭。
2. 同态和同构，商代数
同态和同构是一条比较和联系的研究路线，商代数是一条深入和抽象的路线。
2. 1 代数系统的同态与同构，代数系统上的同余关系和代数系统的商代数。
同态是同类型代数系统间的一种映射，代数系统意义上的映射，包括元素和运算的映射。首先定义运算的映射：对于从一个系统到另一个系统的元素映射，如果元素运算结果的映射等于元素映射的运算结果，则该运算也能从前一系统映射到后一系统。然后映射整个代数系统：如果元素映射能将一个系统中所有的运算映射到另一个系统，则称其为从前者到后者的同态。可以证明，前一系统元素集在同态映射下的象对后一系统的运算构成代数系统，是后一系统的子代数，称为同态象。如果同态是双射，则称为同构，并可称两个代数系统同构。从抽象的角度看，同构的代数系统是无区别的，其实映射和抽象有着密切关系。
根据元素间的等价关系，可以对代数系统进行抽象。首先定义一个运算的抽象性：如果运算结果不区别等价元素，那么运算过程也可以不区别等价元素，这称为等价关系对运算具有置换性质。然后抽象整个代数系统：如果一个等价关系对代数系统上所有运算都具有置换性质，则该等价关系称为代数系统上的同余关系；对于代数系统上的同余关系，可以证明，其等价类对扩展意义下的原有运算构成代数系统，称为商代数。所谓扩展意义的原有运算，定义为等价类运算结果的代表元等于代表元运算的结果，其实就是从前述运算的抽象性来的。不难知道，存在从代数系统到其商代数的同态。其实商代数与同态是相互联系的。一个系统到另一个系统的同态映射可以导出前者上的等价关系，可以证明是前者上的同余关系，从而产生一个商代数。
为什么会有这种联系呢？商代数是用等价关系来抽象代数系统的结果，而同态可以映射一个代数系统。映射的过程实际也是一种抽象，一个系统的运算可以映射到另一个系统，其实在前一个系统形成了一种置换性质；反过来，用等价类作抽象也是一种映射，等价关系对某种运算具有置换性质，其实产生了原运算到一种抽象运算的映射。正如前面所说，映射和抽象有密切的关系，一个代数系统的映射和一个代数系统的抽象将产生同样的结果，代数系统的同态象和商代数是同构的。
进一步，在有限个元素的代数系统上，同余关系(及其商代数)是可数的，这意味着代数系统的同态也是可数的，虽然一个代数系统可映射到各种各样的同类型代数系统，但是我们只关心其映射关系，这就可以理解同态的可数性。所有的自同态中包括了所有可能的同态情况，但是可能有重复。
22 群和环的同态，商群和商环
2.2.1 群和环的同态
同态不但是元素的映射，具有保运算性，还能映射子代数关系。群同态把子群映射为子群，环同态把子环映射为子环。在一定条件下，同态还能保持更多的性质。同态能把正规子群映射为同态像的正规子群，把理想映射为同态像的理想。
反向考察同态也有很好的结论。对于群同态，子群的原象是子群，正规子群的原象是正规子群(习题17.51)；对于环同态，子环的原象是子环，理想的原象是理想(定理18.7)。群同态核是正规子群，环同态核是理想。由此，群同态核是正规子群，环同态核是理想({e}是群的正规子群，{0}是环的理想)。
2.2.2 正规子群
正规子群比普通子群有更好的性质，一个元素从左方和从右方作用于正规子群所得的结果是相同的。
对正规子群的等陪集关系是群上的同余关系，这使得在其陪集分解结果上可以定义更抽象运算，
构成商代数，不难理解，群的商代数仍然是群，称为商群。
从构成来看，正规子群可以划分成若干共轭类，选取元素时保持共轭类的完整性，从整体来看，一个正规子群等于它的所有共轭子群。
2.2.3 环的理想
在含幺环中，
含有可逆元的理想必等于整个环。一个非平凡理想必不含可逆元，那么所有不可逆元能否构成一个理想呢？这是做18.26题时提出的问题(条件是交换含幺环)，现在看未必成立，不过也不知道反例。(感谢peter帮我找到了反例!一个反例是: R为模5整数环，即R=({0，1，2，3，4，5}，#，$)，#是模5加，$是模5乘，不可逆元的集D={0，2，3，4}，D对加法不封闭，不构成群。这里要知道一个结论:(a,b)=1当且仅当存在x,y∈Z，使得ax+by=1。)
