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首先，我们应该了解函数。下面我给大家讲讲函数。请大家多多指点。

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的**被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的**被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
数学定义
设数集D包含于R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f（x），x∈D 　　其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域。
函数定义：函数是预先定义的功能块（由代码组成）。

计算机定义
函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。
通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。
类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。 　　大多数编程语言构建函数的方法里都含有Function关键字（或称保留字）。
与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f(x)（f由用户自己定义）。

简介　　函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 　　简单地说，甲随着乙变，且乙所对应的甲只有一个，甲就是乙的函数。 　　精确地说，设X是一个非空**，Y是非空数集 ，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素x与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，**{y|y=f（x），x∈X}为其值域Rf（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。 对应法则不变性　　”指的是当某个函数y=f(x)给定后两个变量间的映射" f ( )" 就随之确定了。即f(2x+1)与f(x)指同一对应法则（但不一定是同一函数）。主要包括: 　　①域的作用不变性： 　　（定义域可能变了）即在确定的映射f：下 　　f 括号里的取值范围不变性； 值域不变性。 　　②函数表达结构不变性（解析式可能变了） 　　例1：已知f(x+1)的定义域是[1 , 2],求f(x)的定义域。 方法解读　　定义域：指自变量 x的取值范围（受式子意义和实际意义的限制） 　　对应法则不变性指条件中的函数f ( )和要求的问题中的函数f( )是同一映射； 　　根据对应法则不变性可得到f ( )中括号的取值范围不变； 　　解： 因为f(x+1)的x的取值范围[1,2],( )里的取值范围是[2,3] 　　所以f(x)的( )里的取值范围也应是[2,3] ,也就是f(x)的x的取值范围[1,2],即f(x)的定义域是[1,2], 温故知新　　已知f(x)的定义域是[2 , 3],求f(x+1)的定义域。 　　解： f(x+1)中的x ∈[1 , 2], x+1∈ [2 , 3] 根据对应法则不变性 　　f (x) 中的 x ∈ [2 , 3], 即 f (x)的定义域是[2 , 3] 　　例2：已知函数f(x)的值域是[1,2],求函数f(x-2)的值域。 　　例3：下列函数一定与f(x)=2x是同一函数的序号是（ ①②③ ） 　　[1]① f(t)=2t ②f(□)=2□ ③f(○)=2○ ④f(x+1)=2(x+1)

与函数有关的概念　　在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 　　自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 　　因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 　　函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。 映射定义　　设A和B是两个非空**，如果按照某种对应关系f，对于**A中的任何一个元素a，在**B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括**A，B，以及**A到**B的对应关系f）叫做**A到**B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。**A中所有元素的象的**记作f(A)。 　　则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象） 几何含义　　函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

函数的**论（关系）定义　　如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。 　　当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 　　其特点： 　　前域和定义域重合 　　单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’

定义域、对应域和值域　　输入值的**X被称为f的定义域；可能的输出值的**Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的**。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 　　计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。

单射、满射与双射函数　　单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f（x）= f（y）。
单射满射 双射满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）= y。 　　双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明**X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个**之间可以建立一个一一对应，则说这两个**等势。

象和原象　　元素x∈X在f的象就是f（x），他们所取的式值为0。 　　子集A?X在f的象是以其元素的象组成Y的子集，即f(A) := {f(x) : x ∈A}。 　　注意f的值域就是定义域X的象f（X）。在我们的例子里，{2,3}在f的象是f({2, 3}) = {c, d}而f的值域是{c, d}。 　　根据此定义，f可引申成为由X的幂集（由X的子集组成的集）到Y的幂集之函数，亦记作f。 　　子集B ? Y在f的原象（或逆象）是如下定义X的子集： 　　f ?1(B) := {x ∈X : f(x)∈B}。 　　在我们的例子里，{a, b}的原象是f?1({a, b}) = {1}。 　　根据此定义，f?1是由Y 的幂集到X 的幂集之函数。 　　以下是f及f?1的一些特性： 　　f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2). 　　f(A1 ∩A2) ? f(A1) ∩ f(A2). f ?1(B1 ∪B2) = f ?1(B1) ∪ f ?1(B2). f ?1(B1 ∩B2) = f ?1(B1) ∩ f ?1(B2). f(f ?1(B)) ? B. f ?1(f(A)) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集A, A1及A2和输出值域的任意子集B, B1及B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。

函数图象　　函数f的图象是平面上点对（x,f（x））的**，其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。 　　如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个**X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 　　当k<0时，直线为升，过一三象限或向上平移，向下平移象限；当k>0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。

函数的连续性　　在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 　　设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足： 　　f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。 　　不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。 　　仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立： 　　对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。

函数的凹凸性　　设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，（f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2）那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。 实函数或虚函数　　实函数（Real function），指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。 　　虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。

函数概念的发展历史早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 　　1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

隐函数　　若能由方程F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。 　　注意：此处为方程F（x,y ）= 0 并非函数。 　　思考：隐函数是否为函数？ 　　不是，因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”。 多元函数　　设点（x1，x2，…，xn） ∈G&Iacute;Rn，U&Iacute;R1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。 　　基本初等函数及其图象幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。 　　①幂函数：y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(为整数)，当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。 　　②指数函数：y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>1 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，0③对数函数：y=logax（a>0），称a为底 ，定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞） 。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。 　　以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即<a>自然对数，记作lnx。 　　④三角函数：见表2。 　　正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。 　　⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。 　　⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x），双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。