【组合计数】从6个不同自然数中取若干个组成两个集合

还是从一般情况去归纳一下吧。
设有N个不同的自然数，为方便，不妨设这N个数为：
1、2、3、4、5、6……N(只要从小到大排列，与实际大小无关)。
N个数之间有N-1个间隔，任何一个间隔（看成有一个插板）将N个数分成左右两部分，不妨设这两个**分别称为A与B，插板左边取若干个数作为**A的元素，右边取若干个数作为**B的元素，那么就符合题意要求。从题意来看，显然两个**应该是非空**。
下面找出其规律，最后进行归纳整理。
（1）插板位于第一个间隔，左边只有1个数，右边有N-1个数，那么A的非空子集只有1个；右边N-1个数，可以任选1个、2个、3个……N-1个
所以选法共有：1*[(N-1)C1+(N-1)C2+……+（N-1）C(N-1)]
(2)插板从第一个间隔移动到第二个间隔，A**中，只考虑新增的子集，新增的子集必须包含第二个数，也就是说，原来有多少个子集，那么每个子集添加第二个数，就可以得到相同个数的新子集，并且还多一个仅包含新增数这一个元素的子集，即：新增子集的个数比原有子集个数多1。
所以**A，新增子集：1+1=2（个）
右边的个数减少1个，即（N-2）个数，可以任选1个、2个、3个……(N-2)个
那么选法新增：2*[(N-2)C1+(N-2)C2+(N-2)C3+……+(N-2)C(N-2)]
(3)以此类推，插板移到第三个间隔时，**A新增子集：1+1+2=4（个）
右边的数的个数再次减少一个，即（N-3）个，可以任选1、2、3……(N-3)个
那么选法新增：4*[(N-3)C1+(N-3)C2+(N-3)C3+……+(N-3)C(N-3)]
.....
再看表达式的规律：
**A的子集新增个数，依次是2^0、2^1、2^2、2^3……2^(N-2)
**B的对应子集个数，依次是：
[(N-1)C1+(N-1)C2+(N-1)C3+……+(N-1)C(N-1)]
[(N-2)C1+(N-2)C2+(N-2)C3+……+(N-2)C(N-2)]
[(N-3)C1+(N-3)C2+(N-3)C3+……+(N-3)C(N-3)]
.......
[2C1+2C2]
[1C1]
利用乘法原理与加法原理，对应两两相乘，再相加。
没上过高中，整理与计算不太熟悉，有谁来整理一下，能否化为较为简单的表达式。
第一问，数量较小，按这个思路霸蛮也是能算出来的。
1*(5C1+5C2+5C3+5C4+5C5)+
2*(4C1+4C2+4C3+4C4)+
4*(3C1+3C2+3C3)+
8*(2C1+2C2)+
16*1C1


分别讨论时，会出现重复的现象。

第一问，数量较小，按这个思路霸蛮也是能算出来的。
1*(5C1+5C2+5C3+5C4+5C5)+
2*(4C1+4C2+4C3+4C4)+
4*(3C1+3C2+3C3)+
8*(2C1+2C2)+
16*1C1
=2^0*(2^5-1)+2^1*(2^4-1)+2^2*(2^3-1)+2^3*(2^2-1)+2^4*(2^1-1)
=(2^5-2^0)+(2^5-2^1)+(2^5-2^2)+(2^5-2^3)+(2^5-2^4)
=5*2^5-(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)
=5*2^5-(2^5-1)
=4*2^5+1
从这个规律中，可以找出通项：
对于N个数而言，则共有取法：
（n-2）*2^(n-1)+1