据说高斯上小学的时间，老师一次上课为了偷懒，对同学们说：“谁能告诉我1*2*3*……*5000一共有多少个尾数0，谁答对了就可以出去玩”。年轻的小高斯马上举起手说：“老师，我知道了！”老师不相信，于是问他，高斯自豪的说：“1249个！”，老师大惊失色，拿出准备好的答案查看发现果然是1249个，他震惊的问小高斯：“我算了一晚上的题目，你怎么一下子就做出来了？”高斯说：“5000个数一共有含有1249个因子5，而因子2的个数肯定多于5的，2*5=10”老师恍然大悟，觉得小高斯是个可造之材，好好的干了他一番。



据说高斯上小学的时候，老师一次上课为了偷懒，对同学们说：”谁能告诉我1+1/2+1/3+...+1/100000化成最简分数分母末尾有多少个零我就让你们出去玩。“之后老师拿了本书正坐下准备看，年轻的小高斯马上举起手说：“老师，我知道了！”老师不相信，于是问他。高斯很自豪的说：“七个！”老师大惊失色，拿出准备好的答案查看发现果然是七个，他震惊的问小高斯：“我算了一晚上的题目，你怎么一下子就做出来了？”高斯说：“五的七次方不是78125么，而五的八次方就超过十万了啊！”老师恍然大悟，觉得小高斯是个可造之材，好好的干了他一番。



漏了2*5^p,3*5^p,4*5^p,5*5^p形式

b/11 + b/12 + b/13 + b/14 含有至少3个因子5（一个来自于b，至少两个来自于引理）；
b/16 + b/17 + b/18 + b/19 含有至少3个因子5（一个来自于b，至少两个来自于引理）。
刚才已经知道 a + a/2 + a/3 + a/4 含有2个因子5，所以，Ln中到a/4为止的这些项，它们的和至少含有2个因子5。
而：
b/21 只含一个因子5；
b/21 + b/22 只含一个因子5；
b/21 + b/22 + b/23 只含一个因子5；
所以，如果b/21 <= n < b/24，即4.2*5^p <= n < 4.8*5^p，则Ln只含一个因子5，Sn的分母含p-1个因子5。
而因为b/21 + b/22 + b/23又含有两个因子5，所以当4*5^p <= n < 4.2*5^p，或者4.8*5^p <= n < 5*5^p时，Ln至少含有2个因子5，还需进一步研究Ln中会不会含有3个因子5。
此时，需要研究Ln中只含2个因子5的那些项。同前，这些项将是c = 5b，c/2，c/3，c/4；c/6，c/7，c/8，c/9……一直到c/124。其中，落在尚未解决的关键区间的项有c/101，c/102，c/103，c/104和c/121，c/122，c/123，c/124。
由引理，这些项每四个的和都将含有至少4个因子5。如果我们考察Ln中到a/4为止的项的和，我们会发现，它能被25整除而不能被125整除，而这个性质是由a + a/2 + a/3 + a/4 = 25a/12 = c/12决定的。
考察关键区域：
c/12 + c/101 = 113c/1212，除了c中含有的2个因子5之外，没有多余的因子5；
c/12 + c/101 + c/102 = 2123c/20604，没有多余的因子5；
c/12 + c/101 + c/102 + c/103 没有多余的因子5（暴力计算求得，下同）；
c/12 + c/101 + c/102 + c/103 + c/104 没有多余的因子5；
c/12 + c/121 没有多余的因子5（想一想，我为什么不加 c/101，c/102，c/103，c/104 这四项了？）；
c/12 + c/121 + c/122 没有多余的因子5；
c/12 + c/121 + c/122 + c/123 没有多余的因子5；
c/12 + c/121 + c/122 + c/123 + c/124 没有多余的因子5。
大功告成！当n落在未解决的区间（4*5^p <= n < 4.2*5^p，或者4.8*5^p <= n < 5*5^p）时，Ln只有两个因子5！因此Sn的分母含p-2个因子5。
总结一下到目前为止的结论：
1) 当5^p <= n < 4*5^p时，Sn的分母含p个因子5；
2) 当4.2*5^p <= n < 4.8 * 5^p时，Sn的分母含p-1个因子5；
3) 当4*5^p <= n < 4.2*5^p，或4.8*5^p <= n < 5*5^p时，Sn的分母含p-2个因子5。
当然了，如果p-1或p-2小于0了，那就是Sn的分母不含因子5，而分子反倒会剩下因子5。
万里长征还差最后一步：你怎么知道约分的时候不会唰唰唰地约掉分母中的因子2，以至于因子2比因子5还少了呢？虽然想一想觉得不太可能（本来因子2就比因子5多得多），但还是需要证明一下。好在Ln的各项中，永远有且仅有一项是奇数，这一项是Mn/2^q，n/2 < 2^q <= n。也就是说，约分过程根本就不可能约掉因子2。
所以，上面结论中，Sn的分母含有的因子5的个数，就是Sn的分母末尾零的个数！


Sn = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n 的最简形式中分母末尾有几个零？
第一个想法，Sn的分母大概应该是1到n所有整数的最小公倍数吧。它的末尾有几个零呢？
一个十进制整数末尾零的个数，等于它含有的因子2的个数和因子5的个数的较小值。
记1~n的最小公倍数为Mn，则它含有的因子2的个数，应该等于1~n中含因子2最多的那个（些）数所含因子2的个数。n=100000时，这个数是2^16 = 65536，它含有16个2。
同理，Mn含有的因子5的个数，等于1~n中含因子5最多的那个（些）数所含因子5的个数。n=100000时，这个数是5^7=78125，它含有7个5。
综上，M100000的末尾有7个0。
（一般地，若5^p <= n < 5^(p+1)，则Mn的末尾有p个零）
如果只想到这里，问题只答对了一部分：Sn的各项通分后，分母确实是Mn，但不能保证加起来之后的分子不能再跟分母约分。比如当n=20时，通分后分母为Mn = 232792560（末尾有1个零），而通分后各项分子之和Sn = 837527025，可以跟分母约去一个15。约分后Sn = 55835135/15519504，分母上的0就不存在了。
可见，必须考虑通分后的各项分子之和（以下简称分子，记作Ln）能否跟分母约分，尤其需要关注分子中是否含有因子5。
不失一般性，我们研究5^p <= n < 5^p的情况。此时，Mn含有p个因子5，其结尾有p个零。
“分子” Ln = Mn/1 + Mn/2 + ... + Mn/n
容易发现，分子的各项中绝大多数都能被5整除，只有第5^p，2*5^p，3*5^p，4*5^p项（如果有的话）能够耗尽Mn中的因子5。
记第5^p项为a，则第2*5^p，3*5^p，4*5^p项（如果有的话）则为a/2，a/3，a/4。
如果5^p <= n < 2*5^p，则a/2，a/3，a/4都不存在，Ln中只有第5^p项（Mn/5^p，记作a）不能被5整除。因此Ln不能被5整除，约分约不掉Mn中的因子5，约分后的分母中仍含有p个因子5。
如果2*5^p <= n < 3*5^p，则Ln中不能被5整除的项有a和a/2，它们的和 3a/2 仍然不能被5整除，故约分后的分母中仍含有p个因子5。
如果3*5^p <= n < 4*5^p，则Ln中不能被5整除的项有a，a/2，a/3，它们的和 11a/6 仍然不能被5整除，故约分后的分母中仍含有p个因子5。
如果4*5^p <= n < 5*5^p，情况就有了变化！！此时Ln中不能被5整除的项有a，a/2，a/3，a/4，但它们的和 25a/12 能够被5整除，并且这四项的和一下子含有了两个因子5！这时，就必须考察Ln中只含1个因子5的那些项。如果它们的和能被5整除而不能被25整除，Ln将也如此，结果将与Mn约掉1个因子5；如果它们的和甚至能被25整除，则Mn将被约掉至少2个因子5（是否能够约去更多，需要继续讨论）。
Ln中只含1个因子5的项包括Mn/5^(p-1)以及它的倍数（但Mn/5^p的倍数，即上一段研究过的那些项，除外）。记Mn/5^(p-1) = b = 5a，则这些项就是b，b/2，b/3，b/4；b/6，b/7，b/8，b/9；b/11，b/12，b/13，b/14；b/16，b/17，b/18，b/19；b/21，b/22，b/23，b/24。由于我们只需考察4*5^p <= n < 5*5^p的情况，这时到b/19为止一定都存在在Ln中，b/21到b/24则不一定。
首先来看一组引理：
1/(5k+1) + 1/(5k+2) 的分母和分子不能被5整除；
1/(5k+1) + 1/(5k+2) + 1/(5k+3) 的分母和分子不能被5整除；
1/(5k+1) + 1/(5k+2) + 1/(5k+3) + 1/(5k+4) 的分母不能被5整除，但分子能被25整除。
证明过程几乎就是暴力计算。
上面考察过a，a/2，a/3，a/4，它们就是引理的一个例证。
由引理，我们知道：
b + b/2 + b/3 + b/4 含有至少3个因子5（一个来自于b，至少两个来自于引理）；
b/6 + b/7 + b/8 + b/9 含有至少3个因子5（一个来自于b，至少两个来自于引理）；


我觉得高斯已经被老师♂偷♂偷♂爆了好多次菊了，而且高斯总这样是因为他对于被老师爆♂菊这件事情很高兴，还有我♂偷偷♂收藏♂了这个帖子。

大神，我要向你学的有太多了。带我走吧。擦擦擦擦♂♂♂♂