再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版)
——不识“更无理”数必使人犯极低级错误
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631
早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。
一再获此发现的关键是常识：变量必可遍取变域内的每一数即必可将变域内的数全部取出。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。要害是破解数学难题如破案，要过细，粗枝大叶往往搞错：将非0误差定义为0误差。
太使人承受不了的发现来自于太浅显的常识：由大到小取值的变量要取出x必先将变域内一切比x大的数全部取出。
一、对变量与无穷集不能只有一知半解的肤浅认识，更不能有错误的认识
无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数a与b。变域为B的x由大到小一次次取值，必能有最后一次的取值：取到a后就无数可取了。即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。地球与宇宙相比是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小天体，但其与人相比又是有穷小天体。这是宇宙中“无穷”与“有穷”的对立统一性。又例如无限可分的原子就是“小宇宙”。人不可将无穷集内的数全部取出，≠相应变量不能。对人而言B内数多得取之不尽，但相应的变量x却可取尽B内数，正如人制造的机器人能干人所不能干的事一样。此由大到小取值的x必取尽无穷集(a，b)的一切数后才取a,即其必取至再也无除a外的任何数可取了,才取a。数学有定理断定此x在→a的过程中总与a相隔无穷多个属B的数，即说其总远远不能取尽“吃光”a与b之间的数，从而更不能到达a处。这显然是违反起码数学常识的定理。所以如[1]所述在B中必有紧贴a的数x＞a与a之间没有任何可取的数了。同理B各元x必有与之紧贴的数。限于篇幅本文只揭数学内违反常识的错误的冰山一角。常识：沿x轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经b与a之间的一切位置之后才能到达a处。
关键：变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。凡变量必有变域，无穷大是取数的变量。
由大到小取值的y=x•x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的x必取0之后才能取负数一样。由一切非负实数组成的数集中有最小数0，同理，在无穷集H中必有最小正数y=c。y取c后就无正数可取了。因为若说此y取正数的过程没完没了，显然就是说其不可取尽变域的一切正数，从而更谈不上能取0。这显然违反起码数学常识。所以在H中并非任何正数y都有同属H的对应数y/2等。如根号2不能纳入有理数系内一样，有太小正数也不能纳入H内。
对无穷现象的幼稚认识使世人误以为有首项的无穷数列必无末项。设空箩筐K装进了无穷数列A：1，2，3，…，n，n+1，…的一切数， 这一切数组成数集D。变域为D的n必能由小到大地将D内数全部取出，从而使K变得空无一数。若K内总有数，那就表明相应的变量不能将K内数全部取出，即其变域必非D。说变量n每取出一数n（n所取各数也均由n代表）后，K内总至少还剩有一数n+1，即K总不能变空，显然就是说此n不能将K内数取尽。能将K内数取尽的n在由小到大取值的过程中必能取至一n后就无数可取了，此n的后继n+1不属D；此n显然就是数列A的末项。文献[1]论证了任何正数集均有该集的最小、大正数。小学生也一眼看出y = n+1＞n=1，2，3，……表达y可＞数列A的一切数，即其必可取D外数y＞D的一切数n。可见表达式限制式中n不可取一切非0.自然数。形成鲜明对比的是n-1＜n=1，2，3，……中的n就可取一切自然数。不能头脑简单地断定数列A包含一切非0自然数啊！这充分说明：①D内必有一n的后继n+1是D外数。②若D各元n均有对应数n+1，则并非这所有的n+1都还在D内。即n+1的变域不是D的真子集。
——不识“更无理”数必使人犯极低级错误
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631
早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。
一再获此发现的关键是常识：变量必可遍取变域内的每一数即必可将变域内的数全部取出。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。要害是破解数学难题如破案，要过细，粗枝大叶往往搞错：将非0误差定义为0误差。
太使人承受不了的发现来自于太浅显的常识：由大到小取值的变量要取出x必先将变域内一切比x大的数全部取出。
一、对变量与无穷集不能只有一知半解的肤浅认识，更不能有错误的认识
无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数a与b。变域为B的x由大到小一次次取值，必能有最后一次的取值：取到a后就无数可取了。即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。地球与宇宙相比是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小天体，但其与人相比又是有穷小天体。这是宇宙中“无穷”与“有穷”的对立统一性。又例如无限可分的原子就是“小宇宙”。人不可将无穷集内的数全部取出，≠相应变量不能。对人而言B内数多得取之不尽，但相应的变量x却可取尽B内数，正如人制造的机器人能干人所不能干的事一样。此由大到小取值的x必取尽无穷集(a，b)的一切数后才取a,即其必取至再也无除a外的任何数可取了,才取a。数学有定理断定此x在→a的过程中总与a相隔无穷多个属B的数，即说其总远远不能取尽“吃光”a与b之间的数，从而更不能到达a处。这显然是违反起码数学常识的定理。所以如[1]所述在B中必有紧贴a的数x＞a与a之间没有任何可取的数了。同理B各元x必有与之紧贴的数。限于篇幅本文只揭数学内违反常识的错误的冰山一角。常识：沿x轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经b与a之间的一切位置之后才能到达a处。
关键：变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。凡变量必有变域，无穷大是取数的变量。
由大到小取值的y=x•x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的x必取0之后才能取负数一样。由一切非负实数组成的数集中有最小数0，同理，在无穷集H中必有最小正数y=c。y取c后就无正数可取了。因为若说此y取正数的过程没完没了，显然就是说其不可取尽变域的一切正数，从而更谈不上能取0。这显然违反起码数学常识。所以在H中并非任何正数y都有同属H的对应数y/2等。如根号2不能纳入有理数系内一样，有太小正数也不能纳入H内。
对无穷现象的幼稚认识使世人误以为有首项的无穷数列必无末项。设空箩筐K装进了无穷数列A：1，2，3，…，n，n+1，…的一切数， 这一切数组成数集D。变域为D的n必能由小到大地将D内数全部取出，从而使K变得空无一数。若K内总有数，那就表明相应的变量不能将K内数全部取出，即其变域必非D。说变量n每取出一数n（n所取各数也均由n代表）后，K内总至少还剩有一数n+1，即K总不能变空，显然就是说此n不能将K内数取尽。能将K内数取尽的n在由小到大取值的过程中必能取至一n后就无数可取了，此n的后继n+1不属D；此n显然就是数列A的末项。文献[1]论证了任何正数集均有该集的最小、大正数。小学生也一眼看出y = n+1＞n=1，2，3，……表达y可＞数列A的一切数，即其必可取D外数y＞D的一切数n。可见表达式限制式中n不可取一切非0.自然数。形成鲜明对比的是n-1＜n=1，2，3，……中的n就可取一切自然数。不能头脑简单地断定数列A包含一切非0自然数啊！这充分说明：①D内必有一n的后继n+1是D外数。②若D各元n均有对应数n+1，则并非这所有的n+1都还在D内。即n+1的变域不是D的真子集。
