【分享】一些高数题



@giggle2005
Taylor展开首先当然是对无穷小展开.
上面就是对1/x和其同阶无穷小量展开的
其次是要看前面有几个无穷大量 本题里有两个x 所以展开时至少要展开成三项
否则只展开到第二项有可能不够
其他的 还没有发现什么使用条件限制
其实本题最常规的方法是利用e的极限定义一点一点套 然后医院法则慢慢往下消吧
但是用Taylor展开就明显更直观更方便

2和5是同一类型的题，在做之前先要证明一个结论：
lim(n→∞)[n/((n!)^(1/n))]＝e
当然可以由定积分推出Wallis公式，再进一步推出更强的结论：Stirling公式
但那个对楼主来说可能略微复杂
我这里将由数列极限的初步知识证明
显然
lim(n→∞)[(1＋1/n)^n]＝e
lim(n→∞)[(1＋1/n)^(n+1)]＝e
(1＋1/n)^n＝1*(1＋1/n)*…*(1＋1/n)＜[(1＋n*(1＋1/n))/(n＋1)]^(n+1)＝(1＋1/(n＋1))^(n+1)
从而(1＋1/n)^n单调增
(n/(n＋1))^(n+1)＝1*(n/(n＋1))*…*(n/(n＋1))＜[(1＋(n＋1)*n/(n＋1))/(n＋2)]^(n+2)＝((n＋1/(n＋2))^(n+2)
从而(n/(n＋1))^(n+1)单调增
即(1＋1/n)^(n+1)单调减
从而
(1＋1/n)^n＜e＜(1＋1/n)^(n+1)
显然有
n＜((n＋1)/e)*(1＋1/n)^n
又e＜2^2＝4
由数学归纳法
n!＜(n＋1)^(n+1)/(e^n)
又显然有
n＞(n/e)*(1＋1/n)^n
又e＞2
由数学归纳法
n!＞(n＋1)^n/(e^n)＞n^n/(e^n)
e^n＞n^n/(n!)
(n＋1)^n/(n!)＜e^n＜(n＋1)^(n+1)/(n!)
显然
(n＋1)^n/(e^n)＜n!＜(n＋1)^(n+1)/(e^n)
(n＋1)/e＜(n!)^(1/n)＜((n＋1)/e)*(n＋1)^(1/n)
(1/e)*(n＋1)/n＜(n!)^(1/n)/n＜(1/e)*((n＋1)/n)*(n＋1)^(1/n)
显然
lim(n→∞)[(1/e)*(n＋1)/n]＝lim(n→∞)[(1/e)*((n＋1)/n)*(n＋1)^(1/n)]＝1/e
由夹逼原理
lim(n→∞)[(n!)^(1/n)/n]＝1/e
从而lim(n→∞)[n/((n!)^(1/n))]＝e


sn＝(ln(C(n,0))＋ln(C(n,1))＋ln(C(n,2))＋…＋ln(C(n,n)))/(n^2)
不妨设
an＝ln(C(n,0))＋ln(C(n,1))＋ln(C(n,2))＋…＋ln(C(n,n))
sn＝an/(n^2)
由Stolz公式
lim(n→∞)(sn)＝lim(n→∞)[(an－a(n-1))/(2n－1)]
an－a(n-1)
＝
[ln(C(n,0))＋ln(C(n,1))＋ln(C(n,2))＋…＋ln(C(n,n)＋ln(C(n,n－1)]－[ln(C(n－1,0))＋ln(C(n－1,1))＋ln(C(n－1,2))＋…＋ln(C(n－1,n－1)]
注意
ln(C(n,k))－ln(C(n－1,k))
＝ln(n/(n－k))
an－a(n-1)
＝ln(n^n/(n!))
＝n*ln(n/((n!)^(1/n)))
lim(n→∞)[ln(n/((n!)^(1/n)))]＝1
从而
lim(n→∞)(sn)
＝lim(n→∞)[(an－a(n-1))/(2n－1)]
＝lim(n→∞)[(n*ln(n/((n!)^(1/n))))/(2n－1)]
＝lim(n→∞)[n/(2n－1)]
＝1/2

第5题
设
Tn＝[((n＋1)!*(n＋2)!*…*(2n)!)/(1!*2!*…*(n－1)!*(n!)^(n+1))]^(1/(n^2))
Sn＝ln(Tn)＝ln(((n＋1)!*(n＋2)!*…*(2n)!)/(1!*2!*…*(n－1)!*(n!)^(n+1)))/(n^2)
设
an＝ln(((n＋1)!*(n＋2)!*…*(2n)!)/(1!*2!*…*(n－1)!*(n!)^(n+1)))
((n＋1)!*(n＋2)!*…*(2n)!)/(1!*2!*…*(n－1)!*(n!)^(n+1))
＝[(n＋1)!/(1!*n!)]*[(n＋2)!/(2!*n!)]*…*[(2n)!/(n!*n!)]
＝C(n＋1,n)*C(n＋2,n)*…*C(2n,n)
则
an＝ln(C(n＋1,n)*C(n＋2,n)*…*C(2n,n))
lim(n→∞)(Sn)＝lim(n→∞)[an/(n^2)]＝lim(n→∞)[(an－a(n-1))/(2n－1)]
an－a(n-1)
＝ln(C(n＋1,n)*C(n＋2,n)*…*C(2n－1,n)*C(2n,n))－ln(C(n,n－1)*C(n＋1,n－1)*…*C(2n－2,n－1))
＝ln[((n＋1)*(n＋2)*…*(2n))^2/(2*n^n*n!)]
＝ln[((2n)!)^2/(2*n^n*(n!)^3)]
＝n*ln[((2n)!)^(2/n)/(2^(1/n)*n*(n!)^(3/n))]
由于e～n/((n!)^(1/n))
可得
lim(n→∞)[ln[((2n)!)^(2/n)/(2^(1/n)*n*(n!)^(3/n))]]＝ln(16/e)
lim(n→∞)(Sn)
＝lim(n→∞)[n*ln(16/e)/(2n－1)]
＝ln(16/e)/2
lim(n→∞)(Tn)
＝e^(ln(16/e)/2)
＝4/(√e)

最后一题
容易验证
n/(√(n^2＋n))＜1/(√(n^2＋1))＋1/(√(n^2＋2))＋…＋1/(√(n^2＋n))＜n/(√(n^2＋1))
由夹逼原理
lim((1/(√(n^2＋1))＋1/(√(n^2＋2))＋…＋1/(√(n^2＋n)))＝1
原式＝
lim(n→∞)[e^[(1/(√(n^2＋1))＋1/(√(n^2＋2))＋…＋1/(√(n^2＋n))－1)*n]]
＝lim(n→∞)[e^[n/(√(n^2＋1))－1＋n/(√(n^2＋2))－1＋n/(√(n^2＋3))－1＋…＋n/(√(n^2＋n))－1]]
注意到
1－n/(√(n^2＋k))
＝k/(n*√(n^2＋k)＋n^2＋k)
＜k/(2*n^2＋k)
＜k/(2*n^2)
n/(√(n^2＋1))－1＋n/(√(n^2＋2))－1＋n/(√(n^2＋3))－1＋…＋n/(√(n^2＋n))－1
＞－(1/(2*n^2))*(1＋2＋…＋n)
＝－(1/4)*n*(n＋1)/(n^2)
1－n/(√(n^2＋k))
＝k/(n*√(n^2＋k)＋n^2＋k)
＜k/(n*√(n^2＋n)＋n^2＋n)
n/(√(n^2＋1))－1＋n/(√(n^2＋2))－1＋n/(√(n^2＋3))－1＋…＋n/(√(n^2＋n))－1
＞－(1/(n*√(n^2＋n)＋n^2＋n))*(1＋2＋…＋n)
＝－(1/2)*n*(n＋1)/(1/(n*√(n^2＋n)＋n^2＋n))
由于
lim(n→∞)[(1/4)*n*(n＋1)/(n^2)]＝1/4
lim(n→∞)[(1/2)*n*(n＋1)/(1/(n*√(n^2＋n)＋n^2＋n)]＝1/4
则由夹逼原则
lim(n→∞)[n/(√(n^2＋1))－1＋n/(√(n^2＋2))－1＋n/(√(n^2＋3))－1＋…＋n/(√(n^2＋n))－1]＝－1/4
lim(n→∞)[(1/(√(n^2＋1))＋1/(√(n^2＋2))＋…＋1/(√(n^2＋n)))^n]
＝e^(－1/4)

精掉了，看了确实好多不会做，补高数……