又peano公理来证明
a的第b个后继数是b的第a个后继数
或者高代里貌似把这个作为性质。。

（自然数的可以用数学归纳法证）
证明：
当a 、b 有一个为零时，结论显然成立.
（若 a 为 0，则 0 ＋ b = b = b ＋ 0 ,交换律成立 ; 若 b 为 0 同理）
当a 、b 都不为 零时，首先证明对 ∀ a ∈N+ ,均有 a ＋1 = 1 ＋a .
设使上式成立的所有正整数a 组成的集he 为 M, 那么当 a ＝1 时，1 ＋1＝1＋1，所以 1∈M.
假设 a ∈M ,于是 a ＋1＝1＋a ,则

由归纳法公理知，a ＋1 = 1 ＋a .
其次证明对于 ∀ a、b ∈N+ , 均有
若 b =1 ,则
如果 成立，则
由归纳公理，断言得证.
取定 a ,设 L是所有使 a ＋ b = b ＋ a 成立的所有正整数 b 组成的集he ,下证 L = N+.
首先已证 1 ∈ L ，假设 b ∈L, 则 a ＋ b = b ＋ a . 于是 知

即
由归纳公理知 L = N+. □



用到了自然数序数理论 后继数的定义：
∀ a 、b∈N ，有唯一确定的 a +b ∈N,且满足：
（1)
（2）