于2009年2月出版的《美国数学会志》（NOTICES OF THE AMS, VOLUME56, Number 2）。
经美国数学会和戴森授权，科学时报记者王丹红全文翻译并在科学网上发布这篇文章。

有些数学家是鸟，其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些统一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周围生长的花儿。他们乐于探索特定问题的细节，一次只解决一个问题。我碰巧是一只青蛙，但我的许多最好朋友都是鸟。
这就是我今晚演讲的主题。数学既需要鸟也需要青蛙。数学丰富又美丽，因为鸟赋予它辽阔壮观的远景，青蛙则澄清了它错综复杂的细节。数学既是伟大的艺术，也是重要的科学，因为它将普遍的概念与深邃的结构融合在一起。如果声称鸟比青蛙更好，因为它们看得更遥远，或者青蛙比鸟更好，因为它们更加深刻，那么这些都是愚蠢的见解。数学的世界既辽阔又深刻，我们需要鸟们和青蛙们协同努力来探索。
这个演讲被称为爱因斯坦讲座，应美国数学会之邀来这里演讲以纪念阿尔伯特•爱因斯坦，我深感荣幸。爱因斯坦不是一位数学家，而是一位融合了数学感觉的物理学家。一方面，他对数学描述自然界运作的力量极为尊重，他对数学之美有一种直觉，引导他进入发现自然规律的正确轨道；另一方面，他对纯数学没有兴趣，他缺乏数学家的技能。晚年时，他聘请一位年轻同事以助手身份帮助他做数学计算。他的思考方式是物理而非数学。他是物理学界的至高者，是一只比其他鸟瞭望得更远的鸟。但今晚我不准备谈爱因斯坦，因为乏善可陈。


弗兰西斯•培根和勒奈•笛卡尔
17世纪初，两位伟大的哲学家，英国的弗兰西斯•培根（Francis Bacon）和法国的勒奈•笛卡尔（Rene Descartes），正式宣告了现代科学的诞生。笛卡尔是一只鸟，培根是一只青蛙。两人分别描述了对未来的远景，但观点大相径庭。培根说：“一切均基于眼睛所见自然之确凿事实。”笛卡尔说：“我思，故我在。”
按照培根的观点，科学家需要周游地球收集事实，直到所积累的事实能揭示出自然的运动方式。科学家们从这些事实中推导出自然运作所遵循的法则。根据笛卡尔的观点，科学家只需要呆在家里，通过纯粹的思考推导出自然规律。为了推导出正确的自然规律，科学家们只需要逻辑规则和上帝存在的知识。
在开路先锋培根和迪卡尔的领导之下，400多年来，科学同时沿着这两条途径全速前进。然而，解开自然奥秘的力量既不是培根的经验主义，也不是笛卡尔的教条主义，而是二者成功合作的神奇之作。400多年来，英国科学家倾向于培根哲学，法国科学家倾向于笛卡尔哲学。法拉弟、达尔文和卢瑟福是培根学派；帕斯卡、拉普拉斯和庞加莱是迪卡尔学派。因为这两种对比鲜明的文化的交叉渗透，科学被极大地丰富了。这两种文化一直在这两个国家发挥作用。牛顿在本质上是笛卡尔学派，他用了笛卡尔主义的纯粹思考，并用这种思考推翻了涡流的笛卡尔教条。玛丽•居里在本质上是一位培根学派，她熬沸了几吨的沥青铀矿渣，推翻了原子不可毁性之教条。
在20世纪的数学历史中，有两起决定性事件，一个属于培根学派传统，另一个属于笛卡尔学派传统。第一起事件发生于1900年在巴黎召开的国际数学家大会上，希尔伯特（Hilbert）作大会主题演讲，提出了23个未解决的著名问题，绘制了即将来临的一个世纪的数学航道。希尔伯特本身是一只鸟，高高飞翔在整个数学领地的上空，但他声称，他的问题是给在同一时间只解决一个问题的青蛙们。第二起决定性事件发生在20世纪30年代，数学之鸟——布尔巴基学派（Bourbaki）在法国成立，他们致力于出版一系列能将全部数学框架统一起来的教科书。
在引导数学研究步入硕果累累的方向上，希尔伯特问题取得了巨大成功。部分问题被解决了，部分问题仍悬而未决，但所有这些问题都刺激了数学新思想和新领域的成长。布尔巴基纲领有同等影响，通过带入以前并不存在的逻辑连贯性、推动从具体实例到抽象共性的发展，这个项目改变了下一个50年的数学风格。在布尔巴基学派的格局中，数学是包含在布尔巴基教科书中的抽象结构。教科书之外均不是数学。自从在教科书中消失后，具体实例就不再是数学。布尔巴基纲领是笛卡尔风格的极端表现。通过排除培根学派旅行者们在路旁可能采集到的鲜花，他们缩小了数学的规模。


艾布拉姆•贝塞克维奇和赫尔曼•外尔
现在，我介绍我所知道的几位著名的鸟和青蛙。
1941年，我作为一名学生来到英国剑桥大学，极其幸运地受教于俄罗斯数学家艾伯拉姆•萨莫罗维奇•伯西柯维奇（Abram Samoilovich Besicovitch）。时值第二次世界大战，剑桥只有很少的学生，几乎没有研究生。尽管当时我只有17岁，而伯西柯维奇已是一位著名教授，但是，他给了我相当多的时间和关注，我们成为终身朋友。在我开始从事和思考数学时，他塑造了我的性格。他在测量理论和积分方面上了许多精彩的课程，在我们因他大胆地滥用英语而哈哈大笑时，他只是亲切地笑笑。我记得仅有一次，他被我们之间的玩笑惹怒。在沉默了一会后，他说:“先生们，有5000万英国人讲你们所讲的英文。有1.5亿俄罗斯人讲我所讲的英文。”
伯西柯维奇是一只青蛙，年轻时，因解决一个名为挂谷问题（Kakeya Problem）的初等本平面几何问题而出名。挂谷问题是这样描述的：让一条长度为1的线段按360度的角度在一个平面上自由转动，这条线扫过的最小面积是多少？日本数学家挂谷宗一(Soichi Kakeya)在1917年提出这个问题，并成为之后十年内未解决的著名问题。当时，美国数学界领袖乔治•伯克霍夫（George Birkhoff）公开声称，挂谷问题和四色问题是最著名的未解决问题。数学家们普遍相信，最小的面积应该是π/8,即棒在三尖点内摆线的面积（three-cusped hypocycloid）。三尖点内摆线是一条优美的三尖点曲线，它是一个半径为四分之一的小圆圈在一个半径为四分之三的定圆内滑动时，动圆圆周上的一个点所绘制的轨迹。长度为1的线段在旋转时始终与内摆线相切，它的两端也在内摆线上。一条线段在旋转时与内摆线的三个点相切，这是一幅多么优美的画，绝大多数人相信它一定给出了最小面积。然后，伯西柯维奇给了大家一个惊喜：他证明，对任何正∈（positive ∈）来说，这一线段在旋转时所扫过的面积小于∈。
实际上，在挂谷问题成为著名问题之前，伯西柯维奇已经在1920年解决了这个问题，但在当时，伯西柯维奇本人甚至不知道挂谷提出了这个问题。1920年，他将解决方案用俄文发表在《彼尔姆物理和数学学会期刊》（Journal of the Perm Physics and Mathematics Society）上，这是一份不被广泛阅读的期刊。彼尔姆大学位于距离莫斯科东面1100公里的彼尔姆城，在俄罗斯**之后，这个城市成为许多著名数学家的短暂避难所。他们出版了两期《彼尔姆物理和数学学会期刊》，之后,期刊便在**和内战的混乱中停刊了。在俄罗斯之外，这份期刊不仅不为人知，而且不可获取。1925年，伯西柯维奇离开俄罗斯，来到哥本哈根，并在这里获知到他已经在5年前解决的著名挂谷问题。他将解决方案重新出版，这一次，论文用英文发表在德国著名的《数学期刊》（Mathematische Zeitschrift）上。正如伯西柯维奇所说，挂谷问题是一个典型的青蛙问题，一个与数学的其它方面没有太多联系的具体问题。伯西柯维奇给出了一个优雅、深刻的解决方案，揭示出它与平面中点集结构的一般定理之间的联系。
伯西柯维奇的风格体现在他的三篇最好的经典文章中，这些文章的标题是:“平面点集之线性可测量的基本几何性质”（On the fundamental geometric properties），它们分别发表在1928年、1938年和1939年的《数学年鉴》（Mathematische Annalen）上。在这些论文中，他证明：平面上的每个线性可测量集可被分解为有规则和无规则的分支，规则分支在每个地方几乎都有一个切线，而无规律分支都有一个零测量投射向几乎所有方向。简而言之，规则分支看起来像连续曲线，而无规则分支看起来不像连续曲线。无规则分支的存在和性质与挂谷问题的伯西柯维奇解有联系。他给我的工作之一是，在高维空间中将可测量集分为规则分支组件和无规则分支。虽然我在这个问题上一事无成，却永远被烙上了伯西柯维奇风格。伯西柯维奇风格是建筑学风格。他用简单元素建造出精美、复杂的建筑结构，通常情况下有层次计划；当大厦建成时，通过简单的论证就可从完整结构中推导出意外的结论。伯西柯维奇的每项工作都是一件艺术品，像巴赫的赋格曲一样精心构成。


在跟随伯西柯维奇做了几年的学生后，我来到美国普林斯顿，认识了赫尔曼•外尔（Hermann Weyl）。外尔是一只典型的鸟，正如伯西柯维奇是一只典型的青蛙。幸运的是，在外尔退休回到位于苏黎世的老家之前，我在普林斯顿高等研究所与他有一年的相处时间。他喜欢我，因为在这一年间，我在《数学年鉴》（Annals of Mathematics）上发表了有关数论的论文，在《物理评论》(Physics Review)上发表了量子辐射理论的论文。他是当时活在世上的少数几位同时精通这两领域的专家之一。他欢迎我到普林斯顿研究所，希望我像他一样成为一只鸟。他失望了，我始终是一只固执的青蛙。尽管我总是在各种各样的泥洞附近闲逛，我一次只能关注一个问题，没有寻找问题之间的联系。对我而言，数论和量子理论是拥有各自美丽的两个世界。我不像外尔一样去发现构建大设计的线索。
外尔对量子辐射理论的伟大贡献是他发明了规范场。规范场的想法有一段奇特历史。1918年，在他统一广义相对论和电磁学的理论中，他作为古典场论发明了它们，并称之为“规范场”，因为它们关系到长度测量的不可积分性。他的统一理论立即遭到爱因斯坦的公开拒绝，经历了这个来自高层的霹雳之后，外尔并没有放弃他的理论，只是进入别的领域。这个的理论没有可验证的实验结果。1929年，在量子理论被其他人发明后，外尔意识到与经典世界相比，他的规范场论更适合于量子世界，而他将经典场论转化为量子场论所做的事，就是将实数转化为复数。在量子力学中，每个电荷的量子伴随一个有相位的复杂波函数，并且规范场涉及相位测量的不可积分性有关。规范场可以精确地与电磁势等同，电荷守恒定律成为局部规范不变性理论的推论。
从普林斯顿回到苏黎世4年后，外尔去世了，我应《自然》之邀为他撰写讣告。“在20世纪开始从事其数学生涯的所有活着的数学家中，”我写道，“赫尔曼•怀尔是在最多的不同领域做出了重大贡献的人物之一。他堪与19世纪最伟大的全能数学家希尔伯特和庞加莱相提并论。活着的时候，他生动地体现了纯数学与理论物理前沿的联系。现在，他去世了，这种联系中断了，我们期望直接借助于创造性的数学想象来理解物质世界的时代结束了。”我哀伤于他的逝世，但我并不希望追随他的梦想。我高兴地看到纯数学和物理学在向截然相反的方向前进。
讣告以外尔为人的概述结束：“外尔的性格是一种审美感，这主导了他对所有问题的思考。有一次，他曾半开玩笑地对我说，‘我的工作总是努力将真与美统一起来；但是，如果只能选择其中之一，那么我选择美。’这段话是对他个性的完美概括，表明他对自然终极和谐的深刻信念，自然的规律必将以数学美的形式呈现出来。这表明他对人类弱点的认识，他的幽默总会让他不至于显得傲慢自大。他在普林斯顿的朋友还记得我最后一次见他的模样：那是去年四月在普林斯顿高等研究院举行的春之舞会上：一个高大、和蔼、快乐的人，尽情地自我享受，他明朗的身架和轻快的步伐让人一点看不出他已经69岁。”
外尔逝世后的五十年是实验物理和观察天文学的黄金时代，也培根学派旅行者收集事实、青蛙们在我们生存的小片沼泽地上探索的黄金时代。在这50年中，青蛙们积累了大量的有关宇宙结构、众多粒子和其间相互作用的详尽知识。在持续探索新领域的同时，宇宙变得越来越复杂。不再是展现外尔数学简洁和美丽的大设计 ，探索者发现了夸克和伽玛射线爆等奇异事件，以及超对称和多重宇宙等新奇概念。与此同时，在持续探索混沌和许多被电子计算机打开的新领域时，数学在变得越来越复杂。数学家发现了可计算性的中心谜团，这个猜想表示为P不等于NP。这个猜想声称：存在这样的数学问题，它的个案可以被很快解决，但没有适用于所有情形的快速算法可解决所有问题。这个问题中最著名的例子是旅行销售员问题，即在知道每两个城市之间距离的前提下，寻找这位销售员在这一系列城市间旅行的最短路径。所有的专家都相信这是猜想是正确的，旅行销售员的问题是P不等于NP的实际问题。但没有人知道证明这一问题的一点线索。在赫尔曼•外尔19世纪的数学世界中，这个谜团甚至还没有形成。


杨振宁和尤里•曼宁
对鸟们来说，最近五十年是艰难时光。然而，即使在艰难时代，也有事情等着鸟们去做，他们勇敢地去解决这些事情。在赫尔曼•外尔离开普林斯顿后不久，杨振宁（Frank Yang）从芝加哥来到普林斯顿，搬进了外尔的旧居，在我这一代的物理学家中，他接替外尔的位置成为一只领头鸟。在外尔还活着时，杨振宁和他的学生罗伯特•米尔斯(Robert Mills)发现了非阿贝尔规范场（non-Abelian gauge fields）的杨—米尔斯理论，这是外尔规范场思想的一个漂亮外推。外尔的规范场是一个经典数量，满足了乘法交换定律。杨-米尔斯理论有一个不交换的三重规范场（triplet of gauge fields）。它们满足量子力学自旋三分量的交换法则，这是最简单的非阿贝尔躺代数A2（non-abelian lie algebra A2）的生成子。这个理论后来如此普遍，以至规范场论成为任何有限元李代数的生成子。有了这种普遍性，杨—米尔斯规范场理论为所有已知粒子和其相互作用提供了一个模型框架，这个模型就是今天粒子物理学的标准模型。通过证明爱因斯坦的重力场论适合于同样的框架，以克里斯托夫三指标符号规取代范场的作用，杨振宁为这个理论上写下点睛之笔。
在他1918年一篇论文的附录里，加上1955年为庆祝他70岁生日而出版的论文选集中，外尔阐述了他对规范场理论的最后想法（这是我的翻译）：“对我的理论最强有力的辩护应该是：规范场不变性与电荷守恒相关，正如坐标不变性与能量动量守恒的相关性。”30年后，杨振宁来到瑞士苏黎世，参加外尔百岁诞辰庆典。杨振宁在演讲中引用这段话，作为外尔提出将规范场不变性作为物理学统一原理的思想证据。杨振宁继续说：“通过理论和实验的发展，今天我们已经认识到：对称性、李群和规范场不变性在确定物质世界的基本作用力中发挥了至关重要的作用。我将之称为对称支配相互作用基本原理。”对称支配相互作用的观点，是杨振宁对外尔言论的概括。外尔发现规范场不变性与物质守恒定律有密切关系。但他只能走这一步，不能走得太远，因为他只知道可交换为阿贝尔域的规范场不变性。借助于非阿贝尔规范场产生的非平凡李代数，场之间形成的相互作用变得独特，因此，对称性支配相互作用。这是杨振宁对物理学的伟大贡献。这是一只鸟的贡献，它高高地飞翔在诸多小问题构成的热带雨林之上，我们中的绝大多数在这些小问题耗尽了一生的时光。
我深深敬重的另一只鸟是俄罗斯数学家尤里•曼宁（Yuri Manin），他最近出版了一本名为《数学如隐喻》（Mathematics as Metaphor）的随笔。这本书以俄文在莫斯科出版，美国数学协会将之译为英文出版。我为英文版书作序。在这里，我简单引用我的序言:“对鸟们来说，《数学如隐喻》是一个好口号。它意味着数学中最深刻的概念是将一个世界的思想与另一个世界的思想联系起来。在17世纪，笛卡尔用他的坐标概念将彼此不相干的代数学和几何学联系起来；牛顿用他的流数（fluxions）概念将几何学和力学的世界联系起，今天，我们将这种方法称为微积分学。19世纪，布尔（Boole）用他的符号逻辑（symbolic logic）概念将逻辑与代数联系起来；黎曼用他的黎曼曲面概念将几何和分析的世界联系起来。坐标、流数、符号逻辑和黎曼曲面，都是隐喻，将词的意义从熟悉的语境拓展到陌生的语境。曼宁将数学的未来看成是对可见但仍不可知的隐喻的一个探索。最深刻的一个隐喻是数论和物理学之间在结构上的相似性。在这两个领域中，他看到并行概念诱人的一暼，对称性将连续与离散联结起来。他期待一种名为数学量化（quantization of mathematics）的统一。”


“曼宁不认可培根主义者的故事。1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上提出著名的23个问题，规划了20世纪的数学议程。根据曼宁的观点，希尔伯特的问题是对数学中心议题的一种干扰。曼宁认为数学的重要进展来自纲领，而非问题。通常情况下，问题是通过采用老想法的新方法而得以解决。研究纲领是诞生新想法的苗圃。他认为，以一种更抽象语言重写了整个数学的布尔巴基纲领是20世纪许多新思想的源泉。他将统一了数论和几何学的朗兰兹纲领视为21世纪新思想的希望之泉。解决了著名未解决问题的人会赢得大奖，但只有提出新纲领的人才是真正的先锋。”
俄文版的《数学如隐喻》中有十个篇章在英文版中被删除了。美国数学学会认为，英文读者不会对这些篇章产生兴趣。这种删除是双重不幸。第一，作为一位非凡的数学家，曼宁广博的兴趣远远超越了数学，但英文版读者只能看见观点被拦截的曼宁；第二，我们看见的是观点被截断的俄罗斯文化，相比较于英语言文化，俄罗斯文化没有那么多的分门别类，它让数学家与历史学家、艺术家和诗人有更密切的接触。


约翰•冯•诺伊曼
约翰•冯•诺伊曼（John von Neumann）是20世纪数学中另一位重要人物。冯•诺伊曼是一只青蛙，他用自己惊人的技术技能解决了数学和物理学众多分支领域中的问题。从创立数学的基础开始，他发现了**论的第一个令人满意的公理集，避免了康托（Cantor）在试图解决无穷集和无穷数时遇到的逻辑悖论。几年后，冯•诺伊曼的鸟类朋友库特•哥德尔（Kurt Godel）用他的公理集证明了数学中的不可判定性命题。
哥德尔的定理让鸟们对数学有了新看法。哥德尔之后，数学不再是与独特真理概念捆绑在一起的单一结构，而是带有不同公理集和不同真理概念的结构群岛。哥德尔证明数学不可穷尽。无论选择怎样的公理集作为基础，鸟们总能找到这些公理不能回答的问题。
冯•诺伊曼从数学基础的奠定迈向了量子力学基础的奠定。为了给量子力学一个坚实的数学基础，他创立了一个宏大的算子环理论（theory of rings of operator）。每个可观察量都可以由一个线性算子来代表，量子行为的特殊性可由算术代数忠实地代表。正如牛顿发明了描述经典力学的微积分，冯•诺伊曼发明了描述量子力学的算子环理论。
冯•诺伊曼在几个领域做出了奠基性贡献，特别是从博弈论到数字计算机的设计。在他生命的最后十年里，他深深了陷到计算机里。他对计算机的兴趣如此强烈，以至决定不仅要研究它们的设计，而且还要用真正的硬件和软件构建一台可做科学研究的计算机。我对冯•诺伊曼在普林斯顿高等研究所的早期计算机有生动清晰的记忆。那时，他有两个主要的科学兴趣：氢弹和气象学。夜晚，他用计算机做氢弹问题，白天，则做气象学问题。白天，游荡在计算机大楼里的许多人都是气象学家，他们的领导是朱尔•查耐（Jule Charney）。查耐是一位真正的气象学家，妥善谦卑地讨论天气变幻莫测的神秘，怀疑计算机解决这个神秘的能力。我听过冯•诺伊曼以这个问题为主题的一次演讲。如往常一样，他充满自信地说：“计算机将使我们能够在任何时刻将大气划分为稳定域和不稳定域。我们可以预测稳定域，我们能够控制不稳定域。”
冯•诺伊曼相信，任何不稳定域都可以通过明智而审慎的小扰动来推动，推动它向任何所期望的方向移动。小扰动可以通过携带烟雾发生器的飞机舰队来实施，在扰动效果最佳的地方吸收太阳光，提高或降低局部温度。特别是，通过尽早鉴不稳定域，我们能在飓风之初将之停止，然后在该区域气温上升并形成漩涡之前，降低其气温。冯•诺伊曼在1950年指出，只需用十年的时间就能建造足以精确诊断大气中稳定和不稳定区域的强大计算机。一旦能够精确诊断，我们就能在短时间内实施天气控制。他期望能在20世纪60年代的十年中，对天气的实际控制成为常规操作。
冯•诺伊曼当然错了。他错在不知道混沌（chaos）。我们现在明白，当大气运动局部不稳定时，实际上常常是发生了混沌。“混沌”意味着刚开始聚拢在一起运动会随着时间推进而呈指数般离散。当运动成为混沌时，它就不可预测，小扰动不可能将之推向可预测的稳定运动。小扰动通常是将之推向另一种同样不可预测的混沌运动。所以，冯•诺伊曼控制天气的战略思想破产了。最终，他是一位伟大的数学家，但也是一位中庸的气象学家。
1963年，在冯•诺伊曼逝世6年后，爱德华•劳伦兹发现气象方程的解总是混沌。劳伦兹是一位气象学家，通常也被认为是混沌的发现者。他在气象学的背境中发现了混沌现象，并赋予它们一个现代化的名字。事实上，早在1943年在剑桥的一次演讲中，我已听数学家玛丽•卡特赖特描述了同样的现象，比劳伦兹早20年。卡特赖特1998年以97岁高龄逝世，她以不同的名称称呼这种现象，但他们讲述的是同一现象。她是在描述一种非线性放大器振动的范德波尔方程的解中发现了这些现象。范德波尔方程在第二次世界大战中变得重要，因为在早期的雷达系统，非线性放大器要为发报机提供动力。发报机工作不规则时，空军就会责备制造商生产了有缺陷的放大器。玛丽•卡特赖特被请来寻找问题。她发现问题出在在范德波尔方程。她指出，范德波尔方程的解有精确的混沌行为，这正在空军所抱怨的。在我听冯•诺伊曼谈论天气控制之前7年，我已经从玛丽•卡特赖特处得知所有的混沌问题，但我没有远见卓识足以将二者联系起来。我从来不曾想到：范德波尔方程所描述的不规则行为可用于天气预报的研究。如果我是一只鸟而不是一只青蛙，我也许能看出其中的联系，也许就能帮助冯•诺伊曼解决许多麻烦。如果他在1950年就知道混沌，那么他会深入地思考这个问题，并会在1954年就混沌问题谈一些重要的见解。


在走向生命尽头之时，冯•诺伊曼陷入了麻烦。因为他是一只真正的青蛙，但每个人都期望他是一只飞翔的鸟。1954年，国际数学家大会在荷兰阿姆斯特丹举行。国际数学家大会每四年举办一次，应邀在大会开幕式上作演讲是一个崇高的荣誉。阿姆斯特丹大会的组织者邀请冯•诺伊曼作大会主题演讲，希望能再现希尔伯特1990年在巴黎大会上的盛况。正如希尔伯特提出的未解决问题指引了20世纪前半叶的数学发展，冯•诺伊曼应邀为20世纪后半叶的数学指点江山。冯•诺伊曼演讲的题目已经在大会纲要中公布了。它是：《数学中未解决的问题——大会组委会邀请演讲》。然而，会议结束后，包含所有演讲内容的完整会议记录出版了，除了冯•诺伊曼的这篇演讲之外。会议记录中有一空白页，上面只写着冯•诺伊曼的名字和演讲题目，下面写着：“演讲文稿尚未获取。”
究竟发生了什么事？我知道所发生的事情，因为1954年9月2日，星期四，下午3：00，我正坐在阿姆斯特丹音乐厅的听众席上。大厅里挤满了数学家，所有人都期望在这样一个历史时刻聆听一个精彩绝伦的演讲。演讲结果却是令人非常失望。冯•诺伊曼可能在几年前就接受邀请做这样一个演讲，然后将之忘到九宵云外。诸事缠身，他忽略了准备演讲之事。然后，在最一刻，他想起来他将旅行到阿姆斯特丹，谈一些有关数学的事；他拉开一个抽屉，从中抽出一份20世纪30年代的老演讲稿，弹掉上面灰尘。 这是一个有关算子环的演讲，在30年代是一个全新、时髦的话题。没有谈任何未解决的问题，没有谈任何未来的问题。没有谈任何计算机，我们知道这是冯•诺伊曼心中最亲爱的话题，他至少应该谈一些有关计算机的新的、激动人心的事。音乐厅里的听众开始变得焦躁不安。有人用全音乐厅里的人都能听见的声音大声说：“Aufgewarmte suppe”，这是一句德国，意思是“先将汤加热（warmed-up soup）”。1954年，绝大多数数学家都懂德语，他们明白这句玩笑的意思。冯•诺伊曼陷入深深的尴尬，匆匆结束演讲，没有等待任何提问就离开了音乐厅。


再谈曼宁
在结束这个演讲之际，我再回到曼宁和他的书《数学如隐喻》。这本书主要谈数学，但它也许会让西方读者感到吃惊，因为作者用同样的文才描述了其它主题，比如集体无意识、人类语言的起源、孤独症心理学、魔术师在诸多神话文化里的作用。对他的俄罗斯的同胞来说，如此丰富的兴趣专长并不令人惊讶。俄罗斯知识分子保持了老俄罗斯知识阶层的骄傲传统，科学家、诗人、艺术家和音乐家属于一个独立阶层。今天依然如此，我们在契诃夫的戏剧中看见他们：一群理想主义者因疏远迷信的社会和反复无常的政府而联结在一起。在俄罗斯，数学家、作曲家和电影制片人倾心交谈，一同走在冬夜的雪地里，围坐在一瓶酒的周围，分享着彼此的思想。
曼宁是一只鸟，他的视野超越了数学疆界进入了更广阔的人类文化地貌。他的兴趣爱好之一是瑞士心理学家卡尔•荣格（C.G荣格1875年7月26日——1961年6月6日，瑞士著名的心理学家和分析心理学的创始人。）发明的原型理论。荣格认为，原型是一种根植于一种我们共同分享的集体无意识之中的精神意象。原型所拥有的这种强烈感情是已经丢失的集体悲欢喜乐记忆的遗迹。曼宁说，为了寻找这种理论的启发性，我们不必将荣格的理论作为一种真理来接受。
三十多年前，歌手莫尼克 莫瑞利（Monique Morelli）录制了一盘皮埃尔 迈克奥兰（Pierre Macorlan）作词的唱片。其中一首歌是《死城》（La ville Morte），萦绕于心的旋律切合着莫瑞利深沉的低音，随着歌声的对位，一个具有强烈冲击力的死城形象生动地出现了。歌声并没有特殊之处：
“当我们走进这座死城，我的手牵着玛戈特……我们带着受伤的脚从墓地中走出，沉默无言，走过这些没有上锁的门，这些模模糊糊可以瞥见的洞，我们走过这些门，沉默无言，垃圾埇里充满惊声尖叫。”
每次聆听这首歌，我的情感都极为强烈。我常常问自己：为什么这首歌的简单歌词似乎与一些深厚的无意识记忆产生了共鸣？那些死亡的灵魂似乎通过莫瑞利的歌声在述说。现在，意料之外，我在曼宁的书中找到了答案。在“空城原型”一章中，曼宁描述了从古至今，从人类聚集在城市开始，从人类聚集成军队去蹂躏它们开始，死城原型如何在建筑学、文学、艺术和电影的创作中反复出现。在迈克奥兰歌词中，一位述说主角是一位占领军中的老兵，当他与妻子穿过那座尘埃满布的死城时，他听到了更多：“在一个时辰的时间里，在一个老兵梦里，神奇号角声复活了。。”
迈克奥兰的歌词和莫瑞斯的歌声好像唤醒了来自我们集体无意识的一个梦，一位在死城中穿越的老兵的梦。像死城的概念一样，集体无意识的概念可能就是一个神话。曼宁的篇章描绘了这两个可能的神秘概念投向彼此的隐晦之光。他将集体无意识描述为一种无理性力量，这种强大的力量将我们拉向死亡和毁灭。死亡之城的原型是自从城市和抢劫军队出现后，几百座真正被毁灭的城市的痛苦的升华。我们逃离疯狂的集体无意识的唯一方法是基于希望和理性的理智集体意识。我们今天文明面临的伟大任务是创建这样一个集体意识。（完）（译者说明：在翻译后本文后，我请一位数学家朋友帮助校译，他推荐了发表在2010年第一卷《数学译林》上的一篇译文“飞鸟与青蛙”，文章的译者是赵振江，校译是陆柱家。我根据这篇译文对自己的译文进行了校译，特别是其中的数学术语部分，特此说明。）


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