电路在现实生活中应用极为广泛，这一个世纪以来人类对电路的探索研究一直都没有停止过，就是这个初中课本里的电路牵引出了许多规模庞大的学科，而这一切的开始就是最基础的电路理论。这里我打算尽量浅显而宽泛地介绍一下电路基础知识，但不是科普，这次我不会介绍任何技巧性或是繁琐的内容，也不会给太多推导，我尽量挑选一些简单却是（或能引出一些）电路中的基本原理或概念的东西。另外，我主要是写给有一点微积分基础的中学生的，对电路完全没有概念的大学党也可以看看。
一、理想元器件
实际电路中的元件是多种多样的，往往一个元件呈现出多种物理特性，比如导线绕成的线圈不仅有电感性质还有电阻和电容性质。为了方便理论分析，我们在电路中使用理想模型，即就是理想元器件，我们会用足以表征一个实际元件主要特性的模型（理想元件及其组合）来代表该电路元件。下面我们就来介绍几个常见的理想元器件。
1.电阻元件
这个大家初中都学过了，废话就不说了，在这里我们关心的电路元件的特性只有一个，那就是伏安关系，很多时候简记为VCR(Voltage Current Relationship)。电阻元件的伏安关系很简单，那就是欧姆定律：U=IR
我们可以看到欧姆定律中没有时间项t，即伏安关系与时间无关，所以我们称电阻元件是一种“无记忆”元件。另外电阻也分为线性电阻和非线性电阻，我们这里讨论的都是线性电阻。



2.电容元件电容C是一个物理量，它的定义式是C=u/Q，单位是法（拉）F，1F=1V/C，一般用的比较多的是微法和皮法。对于电容器来说u是电容器两端电压，Q是电容上所带的正负电荷，关于电容器是怎么一回事，还有电容器种类什么的就不多讲了。我们现在来看看电容器的VCR，在这之前，我们先定义电流i=dq(t)/dt，即单位时间通过某截面的电荷量，然后结合电容的定义我们很容易得到：
这里我们发现通过电容电流（或者说电容所在支路上的电流）与电容两端电压呈正比。对上式两边同时积分就可得到：

上式表明电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值，而与电流全部过去历史有关，所以我们说电容是一种“记忆元件”。

3电感元件
电感L是一个物理量，也称为自感系数，其定义式是：L=Ψ/i，Ψ是磁链即通过线圈的磁通量乘以匝数，i是通过电感元件的电流。电感两端的电压满足u=dΨ/dt。这里有的同学会说：“乱讲，有电磁感应的时候根本不能定义电压！”那我就稍微提一下，电路中的电压和电磁学中的并不完全是相同的概念，电磁学中的电势是用电场定义的，只有保守场才能找到势函数，而电路中基本没有电场的概念，电压可以看做是从能量的角度定义的，即u=P/i，而实际上你用电压表测的话，它会很精确的告诉你电路中定义的电压（电压表才不知道有没有涡旋电场！）。扯远了，我们要迅速回到VCR的推导上来，其实结果已经很明显了，只要把上面两个式子联立就能得到：


我们发现电感的电压与电流的变化率成正比，将上式两边积分就得到：

我们发现电感的电流取决于其初值与[t0,t]区间所有的电压值，也是记忆元件。另外电容和电感都是能储存能量的元件，其本身不消耗能量，而是通过磁场把它储存起来，电容电感的能量这里就不说了，有兴趣的同学可以用p(t)=u(t)i(t)去推推看。

4.理想电源
电路理论中主要用到的理想电源有电压源、电流源和受控源，受控源这里就不讲了，它在有晶体管的电路中用处很大。
我们先来看看电压源，顾名思义，电压源就是电压确定的电源，初中碰到的电池其实就是理想电压源，没有特殊说明的话电压源的端电压是定值，即U=Us。
以此类推电流源就是电流确定的电源，其端电压可以是任何值，同样，没有特殊说明的话电流源的电流是定值，即I=Is。
实际的电源则有很多种模型，最常见的有电压源串联电阻（就是高中里碰到的电池了）、电流源并联电阻。另外，理想电压、电流源的电压电流并不都是定值，可以人为定义，不过在这里我们默认它们是定值了。
右图左边是电压源右边是电流源。


考试终于在今天上午考完了。。。感觉如果没有计算错误的话，应该可以满分了，不过计算错误总会有的。。。计算量还挺大，不过本来历年考试的难点——最后一道证明题，今年居然巨水无比，我留了半个小时给最后一题，结果做完还剩25分钟。。。好了，吐槽完毕。。。
刚刚把KCL，KVL写了，写的我好累啊，睡觉前看看能不能今天把戴维南和诺顿也写了。。。

二、基尔霍夫定律、戴维南与诺顿定理
1.基尔霍夫电流定律（KCL）
讲基尔霍夫定律之前先要明确两个概念：节点、支路和回路。每个二端元件可以构成一条支路（branch），两条或两条以上支路的连接点叫做节点（node），这样其实根本没说清楚对吧？
其实可以这样理解：在同一时刻，同一支路上的电流是唯一的，同一节点上的电位也是唯一的。这虽然是描述性的语言，把它反过来作为定义也未尝不可，支路和节点的这两个性质也是电路分析的基础。电路中的任一闭合路径叫做回路（loop）。在下图中共有a,b,c,d四个节点，R1,R3,都可以看成是支路，Vs1和R1在一起也可以看成是一个支路，回路一共有3个：dabcd、aR3cba、daR3cd。

现在我们来说基尔霍夫电流定律，即KCL（Kirchhoff current law）：在任一时刻，流入一个节点的电流总等于从这个节点流出电流的总和。用数学形式表达就是:



在上图中，考虑节点c的电流，可以得到i3=i1+i2。
另外，KCL不仅适用于节点，对于任意一个多端网络，其流入电流之和也等于流出电流之和。

2.基尔霍夫电压定律（KVL）
与支路电流法基尔霍夫电压定律，即KVL（Kirchhoff voltage law）就是：在任一时刻，在电路的任一闭合回路中，各支路电压的代数和为零。用数学形式表达就是：
同学们肯定会问，各支路电压是怎么定义的呢？一般书上都会说参考方向的一些规定，但其实没什么必要，说了也未必记得住，其实只要举几个例子就可以讲清楚。所以现在我要介绍一个求解电路的方法：支路电流法。支路电流法是最基本的求解电路中电流、电压的方法，除此之外还有网孔电流法、节点电压法，其本质都是一样的，都是应用KVL和KCL。
我们还是看上面那个电路，R1，R2，R3，Vs1，Vs2都是已知量，现在求i1，i2，i3，注意图上电流的方向未必是真实方向，只是人为规定的方向。当解出的电流为正，则电流方向与规定方向相同，若解出的电流为负，则相反。先用KCL列出i3=i1+i2，然后根据KVL，按cbadc可以列出：i2R2-Vs2+Vs1-i1R1=0，按cbaR3c可以列出：i2R2-Vs2+i3R3=0，仔细看一下同学们就发现了，其实KVL等号左边的是沿绕行方向电压下降的量求和！

当然，你要是对电压上升的量求和也是没问题的。在这个电路中确定每项电压的正负是很容易的事，不过在电压电流都有规定方向的时候（比如电路中有电容电感），搞错正负号的事情还是时有发生，总之记住求绕行方向的压降之和就对了。
现在我们回到对i1，i2，i3的求解过程上来，上面我们利用KCL和KVL列出了3个独立的方程，即

三个未知量，三个线性方程，就可以把i1，i2，i3都解出来了。事实上，用支路电流法求解电路时，若电路中共有n个节点，则其中任意的（n-1）个节点的KCL方程是互相独立的，余下那个节点的KCL方程则是不独立的。在一般情况下，KVL能够提供的独立方程个数总等于支路数b与独立的节点数(n-1)的差值，即KVL提供的独立方程数l=b-(n-1)。未知量的个数是b，所以对于任何电路，支路电流法都可以求出唯一解。


把戴维南、诺顿定理给写了。。。好纠结，其实都是很简单的东西，描述起来却显得很复杂，真的不想用太多篇幅写这个东西。。。我试图用一个简单而直观的方法解释，不过感觉是失败了，最好的方法还是举例子，一举又要写好多，前面支路电流法找了个简单得不能再简单的电路，我都嫌写的多了，这次还是不举例了，例子在打算接下来一阶电路的例子里用一下戴维南、诺顿等效。。。