Mixing flows are only one member of a hierarchy of increasingly unstable and thus chaotic ergodic dynamical systems. Even more random are the so-called K-flows, named after Kolmogorov. Their behaviour is at the limit of total unpredictability: they have the remarkable property that even an infinite number of prior measurements cannot predict the outcome of the very next measurement. My colleague Baidyanath Misra, working in collaboration with Prigogine, has found an entropy-like quantity with the desired property of increasing with time in this class of highly chaotic systems. The chaotic K-flow property is widespread among systems where collisions between particles dominate the dynamics, from those consisting of just three billiard balls in a box (as shown by Sinai in his pioneering work of 1962) to gases containing many particles considered as hard spheres. Many theorists believe, although they have not yet proved it, that most systems found in everyday life are also K-flows. My colleague, Oliver Penrose of Heriot-Watt University and I are trying to establish, by mathematically rigorous methods, whether we can formulate exact kinetic equations for such systems in the way originally proposed by Boltzmann.

In joint research with Maurice Courbage, also at Brussels, Misra and Prigogine discovered a new definition of time for K-flows consistent with irreversibility. This quantity, called the "internal time", represents the age of a dynamical system. You can think of the age as reflecting a system's irreversible thermodynamic aspects, while the description held in Newton's equations for the same system portrays purely reversible dynamical features. 


Thermodynamics and mechanics have been pitted against one another for more than a century but now we have revealed a fascinating relationship. Just as with the uncertainty principle in quantum mechanics, where knowing the position of a particle accurately prevents us from knowing its momentum and vice versa, we now find a new kind of uncertainty principle that applies to chaotic dynamical systems. This new principle shows that complete certainty of the thermodynamic properties of a system (through knowledge of its irreversible age) renders the reversible dynamical description meaningless, whilst complete certainty in the dynamical description similarly disables the thermodynamic view. 


Understanding dynamical chaos has helped to sharpen our understanding of the concept of entropy. Entropy turns out to be a property of unstable dynamical systems, for which the cherished notion of determinism is overturned and replaced by probabilities and the game of chance. It seems that reversibility and irreversibility are opposite sides of the same coin. As physicists have already found through quantum mechanics, the full structure of the world is richer than our language can express and our brains comprehend. Many deep problems remain open for exploration, but at least we have made a start.


Peter Coveney is a lecturer in physical chemistry at the University of Wales, Bangor. His book, written with Roger Highfield, The Arrow of Time, has just been published by W.H. Allen.

--End--