第九天
1、解：（方法一）(Ⅰ) ∵ 是斜三棱柱, ∴ 平面 ，
故侧棱B1B在平面 上的正投影的长度等于侧棱 的长度．(2分)
又 ,故侧棱 在平面 的正投影的长度等于 . (3分)
(Ⅱ)证明： ∵ ， ，∴
∴三角形 是等腰直角三角形，（5分）
又D是斜边AC的中点，∴ （6分）
∵平面 ⊥平面 ，∴A1D⊥底面 （7分）
(Ⅲ)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB．∴ 平面 ，（8分）
从而有 ，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角． （9分）
∵ ，∴ ∴三角形 是直角三角形，
∴ED‖BC ，又D是AC的中点， ∴ ， ∴ ，即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为 .

2、解：（1）设点 ,则 , …………………………………1分
由 得 即 …………………2分
动点 的轨迹方程为 ………………………………3分
① 时，轨迹 是一个焦点落在 轴上且去掉短轴的两个端点的椭圆.
② 时，轨迹 是一个圆心在坐标原点半径为5且去掉与 轴的两个交点的圆.
③当 时，轨迹 是一个焦点落在 轴上且去掉长轴的两个端点的椭圆
④当 时，动点 的轨迹方程为 ，轨迹 是去掉两个点的一条直线
⑤当 时，轨迹 是一个焦点落在 轴上且去掉实轴的两个端点的双曲线.
…………………………………………………………………………8分
（2）设点 ,则点 ,设点 则 …………………9分
，
由 得 ① …………………………………10分
② ……………………………………11分
③ ……………………………………12分
将②③代入①得 ……………………………………13分

1、解：（1）证明： ，且 平面 ∴ 平面 . ……………3分
（2）证明：在直角梯形 中，过 作 于点 ，则四边形 为矩形
∴ ，又 ，∴ ，在Rt△ 中， ，
∴ ， ………4分
∴ ， 则 ， ∴ ……6分
又 ∴ ………………………………………7分
∴ 平面 ………………………9分
（3）∵ 是 中点， ∴ 到面 的距离是 到面 距离的一半.………11分.

2、解：（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
设直线 ，分别与C1，C2的方程联立，求得
………………4分
当 表示A，B的纵坐标，可知
………………6分
（2）t=0时的l不符合题意. 时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN­相等，即
解得
因为
所以当 时，不存在直线l，使得BO//AN；当 时，存在直线l使得BO//AN.

1、解：(1)证明：∵AD‖EF，EF‖BC，∴AD‖BC.
又∵BC＝2AD，G是BC的中点，
∴AD BG，
∴四边形ADGB是平行四边形．
∴AB‖DG. ………………………………2分
∵AB 平面DEG，DG 平面DEG，
∴AB‖平面DEG. ………………………………4分
(2)证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊥平面AEB，BE⊥平面AEB，∴EF⊥AE，
EF⊥BE，又AE⊥EB，
∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立
如图所示的空间直角坐标系． ………………………………5分
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0，2,2)，G(2,2,0)．………………6分
∴ ＝(2,2,0)， ＝(－2,2,2)．
∴ · ＝－2×2＋2×2＝0.
∴BD⊥ . ………………………………8分
(3)由已知得 ＝(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量．
设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，
∵ ＝(0，－1,2)， ＝(2,1,0)，
∴ 即
令z＝1，得n＝(－1,2,1)． ………………………………12分
设二面角C－DF－E的大小为θ，
则cosθ＝cos〈n， 〉＝－＝－，∴二面角C－DF－E的余弦值为－.

2、解：（1）设动点 的坐标为 ，
圆 的圆心 坐标为 ，圆 的圆心 坐标为 ， ……………………2分
因为动点 到圆 , 上的点距离最小值相等，所以 , ……………………3分
即 ，化简得 ， ……………………4分
因此点 的轨迹方程是 ； ……………………5分
（2）假设这样的 点存在，
因为 点到 点的距离减去 点到 点的距离的差为4，
所以 点在以 和 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支上，
即 点在曲线 上， ……………………9分
又 点在直线 上， 点的坐标是方程组 的解，……………………11分
消元得 ， ，方程组无解，所以点 的轨迹上不存在满足条件的点 .

1、如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ‖ ， ， ， 为 的中点．（Ⅰ）求证： ‖平面 ；（Ⅱ）求证：平面 平面 ；（Ⅲ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：取 中点 ，连结 ．在△ 中， 分别为 的中点，
所以 ‖ ，且 ．由已知 ‖ ， ，
所以 ‖ ，且 ． 所以四边形 为平行四边形．
所以 ‖ ．又因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ‖平面 ．…………………4分
（Ⅱ）证明：在正方形 中， ．又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ．所以 ．
在直角梯形 中， ， ，可得 ．
在△ 中， ，所以 ．所以 平面 ．
又因 为 平面 ，所以平面 平面 ．…………… ………9分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知 平面 ，且 ． 以 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系． ． 平面 的一个法向量
为 ． 设 为平面 的一个法向量，因为 ， 所以 ，令 ，得 ．所以 为平面 的一个法向量． 设平面 与平面 所成锐二面角为 ． 则 ．所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为

2、⑴依题意， ， ，所以 ， ……2分， ……3分，所以椭圆的离心率 ……4分．
⑵ ，当且仅当 时， ……5分，当且仅当 是直线 与椭圆 的交点时， ……6分， ，所以 的取值范围是 ……7分。设 ，由 得 ……9分，
由 ……10分，解得 或 ……11分，所求点 为 和

1．解：（1）建立如图所示的直角坐标系 ……1分
∴ ………………2分
设平面PAD法向量为 ，
则 ，所以 …3分
设直线PC与面PAD所成角为 ， …4分
…………………5分
所以，直线PC与平面PAD所成角的余弦值 .……………………6分
（2）连结AC交BD于G，连结EG，
，∴ ……………8分
…………………………9分
∴ …………………………10分[来源:Zxxk.Com]
（3）设平面 ，由

2、解：（1）设点M、N的坐标分别为 ，（ ）点P的坐标为 ，
则 ， ，
由 得 ，------------（※）----------2分
由 得 --------------------------------------3分
∴ 代入（※）得 ----------------------------------------5分
∵ ∴
∴动点P的轨迹C的方程为 （ ）-------------------------------------6分
（2）曲线 即 ，是以B（4,0）为圆心，以1为半径的圆,设 T为轨迹C上任意一点，连结TB,
则 ------------------------------------------8分
∴当 最小时， 最小.---------------------------------------------------9分
∵点T在轨迹C上，设点 （ ）
∴ ---------------------------------11分
当 ，即 时， 有最小值， -----------------------12分
当 时， ∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为 ，使得 最小，

1、解：解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连结 .
且 ，… ………………………………2分
， 又 .……………………………………4分
（Ⅱ） .
过 作 于 ，则 ， 过 作 于 ，连结 ， 则 .
∴ 为二面角 的平面角. ………………………………………6分
。
又∵ ，∴ .
∵ ，且 .
在正 中，由平几知识可求得 ，
在 中，
∴二面角 的余弦值为 . ……………………………………………9分
（Ⅲ）在 中， ，
. …………………………………10分
设点 到平面 的距离为 ， ， ，.即点 到平面 的距离为 .

2、解：（1）依题意，得 ， ， ；
故椭圆 的方程为 ． ………………………………………3分
（2）方法一：点 与点 关于 轴对称，设 ， ， 不妨设 ．
由于点 在椭圆 上，所以 ． （*） ……………………4分
由已知 ，则 ， ，
． ……………………………………6分
由于 ，故当 时， 取得最小值为 ．
由（*）式， ，故 ，又点 在圆 上，代入圆的方程得到 ． 故圆 的方程为：

(3) 方法一：设 ，则直线 的方程为： ，
令 ，得 ， 同理： ， ……………………10分
故 （**） ……………………11分
又点 与点 在椭圆上，故 ， ，……………………12分
代入（**）式，得：
．所以 为定值

1、（1）证明：根据题意，在 中， ， ，
所以 ，所以 .………………………………………………………2分
因为 是正方形 的对角线，
所以 ．………………………………………………………………………………………3分
因为 ，所以 .
折叠后在△ 中， ，
在△ 中， ．……………………………5分
所以 是二面角 的平面角，
即 ．………………………………………6分
在△ 中， ，
所以 ．………………………………………………………………………………………7分
如图，过点 作 的垂线交 延长线于点 ，
因为 ， ，且 ，
所以 平面 ．………………………………………………………………………………8分
因为 平面 ，所以 ．
又 ，且 ，所以 平面 ．……………………………………9分
过点作 作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 ， ，所以 平面 ．…………………………………10分
因为 平面 ，所以 ．
所以 为二面角 的平面角．……………………………………………………11分
在△ 中， ， ，则 ， ，
所以 ．………………………………………………………12分
在 △ 中， ，所以 ………………………………………13分
在 △ 中， ．所以二面角 的正切值为 ．