73楼、76楼分析正确！可以在此基础上推出定积分公式。
　
　　我们可以将原题改为互补问题，求弦长度不超过圆内接等边三角形的边长的概率。
　　参看下图：在圆内随机任取一点P，P点离圆心O的距离为x。可知，当x＜1/2时，围绕P点所作的弦，其长度都大于圆内接等边三角形的边长。我们取r=0.5为半径作一小圆。要使弦长度不超过圆内接等边三角形的边长，P点只能取在小圆之外。
　　过P点作过小圆的切线PA（另一边切线PB）。设角θ=∠OPA。则有sinθ=r/x，可知θ=arcsin(r/x) 。
　　在过P点所作的弦之中，只有处于角∠APC之内的弦（C为BP延长线上的点），其弦长才符合要求。故过P点所作的所有弦之中，符合要求的弦的比例为(π/2-θ)/(π/2)=1-2arcsin(r/x)/π。
　　以OP为半径(=x)作一圆。将x增加一个微小增量dx，以x+dx为半径再作一圆。这样我们就画出了一个圆环（图中涂色部分）。在此圆环内所有的点，其所作弦的长度不超过圆内接等边三角形的边长的概率均为：1-2arcsin(r/x)/π。圆环的面积为：2πx*dx。那么，在此圆环内取点，弦长符合要求与整个圆面积相比的概率为：2πx(1-2arcsin(r/x)/π)dx/(πR^2)=2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx。
　　将2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx对x在区间(1/2,1)上作定积分：
　
　　　　　　　　∫2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx　　(x下限0.5,上限1.式中r=1/2)
　
　　非常抱歉！本人不会作这个定积分。吧内哪位高手能作一下，看看结果是否等于1-6π分之(3倍根号3加2π)=2/3-2π分之根号3　？
　　我是将积分计算转换成面积计算而取得结果的。下次再讲我的转换过程。

我是1/3的fans

　
　　81楼的解法是一种新的解题思路。我把它称作解法六（我对前五种解法的分析见72楼）。
　　解法六的作弦步骤：先在圆周上任取一点，然后过此点作任意方向的直线（81楼的作法是取180度之内的射线。其实，只要改成作直线，就可以是任意方向了，不再受180度的局限。而作弦效果是相同的）。最后通过对弦长的分析计算，从而得出了“弦长大于圆内接等边三角形的边长的概率为1/3”的结果。
　　这个结果与解法一的结果完全相同！不同的解题思路、不同的作图方法，而计算结果居然一样！不知大家思考过是何原因没有？
　　解法六的错误之处与解法一同出一辙：它把平面作图所需点的选点范围局限在圆周线上，不能最大限度地满足“随机取”、“任意取”的要求。

我是所有解法的�

晕，“解法六”和“一”有什么不同吗？
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解法六的错误之处与解法一同出一辙：它把平面作图所需点的选点范围局限在圆周线上，不能最大限度地满足“随机取”、“任意取”的要求。
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这个分析方向倒是不错，但怎么才算“最大限度地满足随机取”？你的取法为什么不跳出这个圆？仔细想一想，在圆内取点和在圆上取点，除了结果略有差异外，没有本质区别的。

　
　　敬请思吧中的高手能帮我做一下这个定积分：（我数学知识不够，确实不会积）
　　
　　　∫2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx　　(x下限0.5,上限1.式中r=1/2) 
　
　　若分成两段，我只会前一个简单的：
　
　　　∫2x(1-2arcsin(r/x)/π)dx　　
　　＝∫2xdx－4/π∫x*arcsin(r/x)dx　　
　　＝3/4－4/π∫x*arcsin(r/x)dx　　　(x下限0.5,上限1.式中r=1/2)

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本来一看这个题我就觉得是1/3，后来注意到钟七珍说的“有重复”，这好像还真是个问题，我再想想�

我还是觉得1/3对�

什么根号之类的很显然是错的

我想的一个方法看行不 假设圆由1000个点组成 点分布均匀的前提是相邻两点到圆心的夹角相同（这点应该是对的吧 根据圆的画法 应该是角度均匀决定点的分布）
然后问题转化为任取两点 其夹角大于120度 即两点间的小狐点数大于333的概率 应该能求出来�

粗略的算了下 333*499*2/1000.999基本=1/3 就算1000变为1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 也是没影响 最后式子差不多 所以我再次坚信是三分之一

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