可重组合的四种证明方法

一种等价定义：不定方程x1+x2+……+xn=m 的所有非负整数解个个数
因为这相当于n个元素中取x1个a1，x2个a2，……，xn个an，这样一共取了m个元素

proof 1：不妨设n个元素为 1，2，……，n，取m个元素为1《 a1《a2《……《am《n，令bi=i-1+ai，则1《b1<b2<……<bm《n+m-1，｛bi｝无重复，与｛ai｝一一对应，可取遍1-n+m-1，故不同取法数为n+m-1个元素的m-无重组和

proof 2：取n-1个相同隔板，m个相同球，考虑它们的随机排列，由于他们分别是相同的，故只需考虑n+m-1个位置选出m个位置，为C（n+m-1，m）。而n-1个隔板把空间隔出了n个位置，每个位置有若干个球，令第i个位置的球数为n个元素中第i个取的个数，则一共取了元素数即为球总数m

proof 3：考虑对不定方程解数的证明，
令yi=xi+1，则yi为正整数，
方程变为y1+y2+……+yn=n+m，
1《y1<y1+y2<……<y1+y2+……+yn=n+m，最后一个是确定的数，但前n-1个为1至n+m-1中取n-1的从小到大排列，只需从中无重取出n-1个不同元素，然后按照大小顺序排列即可，故取法数为C（n+m-1，n-1）