极限四则运算如何使用

书上的定义很简单，只要两极限存在，加减乘的极限等于极限后加减乘。但应用过程中如何判断此时两部分的极限是存在的，也就是四则运算具体如何应用？
如下图题：
书上给出的解题过程如下:

很不理解为何可以直接使用四则运算？
好吧，虽然这两部分各自的极限却是存在，但这也不是一步就得出极限存在的。最起码每部分都等价一步后才是。
是不是说只要能判断两部分四则运算不属于七种未定型，就可以用四则运算？
求指点。