合肥工业大学
12--13
学年第二学期《高等数学》期中
B
试卷
一、填空题（每小题
4
分，共
12
分）
1.
微分方程
2
5
0
y
y
y
满足
0
0
|
0,
|
1
x
x
y
y
的解为
2.
曲线
(
,
)
0
0
f
y
z
x
绕
y
轴旋转一周所得的旋转曲面方程为
3.
设二元函数
(
,
)
z
z
x
y
由方程
2
0
xy
z
e
z
e
所确定，则
2
z
x
y
=
二、选择题（每小题
4
分，共
12
分）
1.
设二阶非齐次线性微分方程
(
)
(
)
(
)
y
p
x
y
q
x
y
f
x
有
3
个线性无关的特
解
1
y
、
2
y
、
3
y
，则方程的通解为（
）
A)
1
1
2
2
3
y
C
y
C
y
y
B)
1
1
3
2
2
3
(
)
(
)
y
C
y
y
C
y
y
C)
1
1
2
2
1
2
3
(1
)
y
C
y
C
y
C
C
y
D)
1
1
2
2
1
2
3
(1
)
y
C
y
C
y
C
C
y
2.
求函数
u
x
y
z
在球面
2
2
2
1
x
y
z
上点
（
）
处沿外法线方向的方向
导数最小。
A)
3
3
3
(
,
,
)
3
3
3
B)
3
3
3
(
,
,
)
3
3
3
C)
3
3
3
(
,
,
)
3
3
3
D)
3
3
3
(
,
,
)
3
3
3
3.
设
2
4
2
4
2
4
2
,
0
(
,
)
0
0
x
y
x
y
x
y
f
x
y
x
y
，则
(
,
)
f
x
y
在点
(0,
0
)
处（
）
A)
极限存在
B)
连续
C)
偏导数存在
D)
可微
三、计算与证明题（满分
76
分）
1.
（
15
分）求满足
2
0
(
)
(
)
x
x
x
f
x
e
e
f
t
dt
的连续函数
(
)
f
x
.
2.
（
10
分）用对称式方程与参数式方程表示直线
1
0
2
3
4
0
x
y
z
x
y
z
. " onload="TED.EditorCore.ResizeImage(this);" onerror="Stats.sendRequest('fr=tb0_forum&st_mod=editor&st_type=urlimagefail&st_value=1');this.removeAttribute('onload');this.removeAttribute('onerror');">); background-position: 50% -8px; background-repeat: repeat no-repeat; ">" onload="TED.EditorCore.ResizeImage(this);" onerror="Stats.sendRequest('fr=tb0_forum&st_mod=editor&st_type=urlimagefail&st_value=1');this.removeAttribute('onload');this.removeAttribute('onerror');">); background-position: 0% 100%; background-repeat: no-repeat no-repeat; ">" onload="TED.EditorCore.ResizeImage(this);" onerror="Stats.sendRequest('fr=tb0_forum&st_mod=editor&st_type=urlimagefail&st_value=1');this.removeAttribute('onload');this.removeAttribute('onerror');">); background-position: 100% 100%; background-repeat: no-repeat no-repeat; ">" onload="TED.EditorCore.ResizeImage(this);" onerror="Stats.sendRequest('fr=tb0_forum&st_mod=editor&st_type=urlimagefail&st_value=1');this.removeAttribute('onload');this.removeAttribute('onerror');">); background-position: 50% 0%; background-repeat: repeat no-repeat; ">" onload="TED.EditorCore.ResizeImage(this);" onerror="Stats.sendRequest('fr=tb0_forum&st_mod=editor&st_type=urlimagefail&st_value=1');this.removeAttribute('onload');this.removeAttribute('onerror');">); background-position: 0% 0%; background-repeat: no-repeat no-repeat; ">" onload="TED.EditorCore.ResizeImage(this);" onerror="Stats.sendRequest('fr=tb0_forum&st_mod=editor&st_type=urlimagefail&st_value=1');this.removeAttribute('onload');this.removeAttribute('onerror');">); background-position: 100% 0%; background-repeat: no-repeat no-repeat; ">
3.
（
10
分）设
2
((
)
,
)
z
f
x
y
xy
，其中
f
具有二阶连续偏导数，求
2
z
x
y
.
4.
（
15
分）求函数
2
2
(
,
)
4
4
f
x
y
x
y
x
y
在闭圆盘
2
2
9
x
y
上的最大值与
最小值。
5.
（
10
分）求曲线
2
2
2
3
0
2
3
5
4
0
x
y
z
x
x
y
z
在
(1,1,1)
处的切线与法平面方程。
6.
（
10
分）讨论函数
2
2
2
2
1
(
)
sin
,
(
,
)
(0,
0
)
(
,
)
0
,
(
,
)
(0,
0
)
x
y
x
y
x
y
f
x
y
x
y
在点
(0,
0
)
处的
连续性、可微性。
7.
（
6
分）设质点作直线运动，初速度
0
0
|
t
v
v
，已知阻力与速度成正比（设比
例常数为
1
）
，问
t
为多少时，质点速度为
0
3
v
，并证明到该时刻质点所经过的路
程为
0
2
3
v
。
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