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@KeyTo9

根据Wilson定理k!≡0(modk+1)或k!≡-1(modk+1)
所以48≡0(modk+1)或47≡0(modk+1)
所以k=1,2,3,5,7,11,15,23,47,46.
逐一验证吧

由于k!/48+1=(k+1)^m，显然必然有k>=6
如果k是奇数，那么k!/48必须是奇数，满足条件的只有k=7,但是带入不成立
故k>=8且k是偶数，
（1）若k+1不是素数,不妨设p|(k+1),p为奇数，必然p<(k+1)/2
则p|k!,但p|(k!/48+1),只能p不整除k!/48
从而p只能等于3，且k!/48中没有3的因子，但这是不可能的（k>=8）
（2）若k+1是素数，则根据威尔逊定理，得到k!+1=0(mod(k+1))
但是k!/48=-1 (mod k+1)得到k!=-48 (mod k+1)
只能有-48=-1 (mod k+1)
故k+1=47.但k=46时等式不能成立

接9L，如何验证k=46不成立：
若有m成立，则
46!/48=47^m-1=46*(47^(m-1)+47^(m-2)+...+1)
由于23^2|LHS,故23|47^(m-1)+47^(m-2)+...+1即23|m
故尔m>=23
但是46!/48<47^46,从而m只能等于23
再取3,由于3|(46!/48),但是3不整除47^(m-1)+47^(m-2)+...+1，是由于
(-1)^0+(-1)^1+...+(-1)^22=1,从而等式左边不等于右边。