已知,如图,在菱形ABCD中,AB=4,角B=60度,点P是射线BC上的一个动点,角PAQ=60度,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y
1)求证:三角形APQ是等边三角形(已解决)
2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.
1)求证:三角形APQ是等边三角形(已解决)
2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.
1）略
2）在三角形ABP内，根据余弦定理，AB²+BP²-2AB·BP·cos60°=AP²
得方程x²-4x+16=y²，整理一下得：y²-（x-2）²=12
图像为上下对称的双曲线，对称轴为直线 x=2
定义域为x≥0
3）若PD⊥AQ，则PD是△APQ的中垂线（△APQ等边，三线合一），
即PD垂直平分AQ，设交点为O
则在△ADQ中，DO是AQ的垂直平分线，则DQ＝DA＝4
则Q与C重合或CQ＝2CD＝8
①若Q与C重合，则B与P重合，BP＝0
②若Q在线段CD的延长线上，则在△ADQ中，AD＝DQ＝4，角D＝120°，易得AQ＝4根号3，AP＝AQ＝4根号3，即y＝4根号3
代入2）中的方程，舍去负值，解得x＝8
综上所述，BP的值为0或8
2）在三角形ABP内，根据余弦定理，AB²+BP²-2AB·BP·cos60°=AP²
得方程x²-4x+16=y²，整理一下得：y²-（x-2）²=12
图像为上下对称的双曲线，对称轴为直线 x=2
定义域为x≥0
3）若PD⊥AQ，则PD是△APQ的中垂线（△APQ等边，三线合一），
即PD垂直平分AQ，设交点为O
则在△ADQ中，DO是AQ的垂直平分线，则DQ＝DA＝4
则Q与C重合或CQ＝2CD＝8
①若Q与C重合，则B与P重合，BP＝0
②若Q在线段CD的延长线上，则在△ADQ中，AD＝DQ＝4，角D＝120°，易得AQ＝4根号3，AP＝AQ＝4根号3，即y＝4根号3
代入2）中的方程，舍去负值，解得x＝8
综上所述，BP的值为0或8
