别沉呀，别沉呀
………求解求解T_T
我试试打下符号………f√(x^2+y^2) =f(x)f(y)求证f(x)=(f(1))^x^2

手动置顶……

特值法

又沉了……不要呀……手动置顶…

给个思路吧。虽然不是完整证明，做参考好了。
暂时先不考虑x≤0的情况。
首先，根据已知条件，令y=x，有
f(√2 |x|) = f^2 (x).
f(√3 |x|) = f^3 (x).
根据数学归纳法，易知f(√n |x|) = f^n (x)……①
在①中令x=1，立得
f(√n) = f^n (1)，for all n ∈ N。
再令x = m/n，得
f(√(m/n)) = f^m (√(1/n)) = f^(m/n) (1)
（正用一遍①，逆用一遍①）
因此，对于一切有理数，f(x) = [f(1)]^(x^2).
再根据函数的连续性，知道对一切实数，该等式成立。