倒行逆施：
我们知道下面两个恒等式
1）1-1/3+1/5-1/7+...=π/4. （1）
2) 1+1/4+1/9+1/16+...=π²/6. （2）
因此我们有：
(1-1/3+1/5-1/7+...)²=3(1+1/2²+1/3²+...)/8. （#）
这个恒等式不含有π，因此我们有理由相信这可能能通过较初等的方法证明。
经过一番研究，得出下面的方法。
由于1+1/2²+1/3²+...=(1+1/3²+1/5²+...)+(1+1/2²+1/3²+...)/4,所以
3(1+1/2²+1/3²+...)/8=(1+1/3²+1/5²+...)/2.
只需证明(1-1/3+1/5-1/7+...)²=(1+1/3²+1/5²+...)/2.
等价于∑(-1)^m/(2m+1)∑(-1)^n(2n+1)=∑1/(2k+1)²,这里的m,n,k都是从-无穷到+无穷。
左端=∑∑(-1)^(m+n)/(2m+1)(2n+1)
=∑∑(-1)^(m-n)/(2m+1)(2n+1)
=∑∑(-1)^k/(2n+1)(2n+2k+1)(k=m-m从-无穷到+无穷）
=∑1/(2k+1)²+∑∑(-1)^k(1/(2n+1)-1/(2n+2k+1))/2k.
=∑1/(2k+1)².
这样就完成了（#）的证明，也就是说我们可以通过（1）证明（2）。