【欧拉猜想】
欧拉猜想是由欧拉提出，从费马最后定理引出的猜想。这猜想是说对每个大于2的整数n，任何n - 1个正整数的n次幂的和都不是某正整数的n次幂，也就是说以下不定方程无正整数解。
这猜想在1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻。他们找出n = 5的反例：
27^5+ 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5
1988年，Noam Elkies找出一个对n = 4制造反例的方法。他给出的反例中最小的如下：
2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4
Roger Frye以Elkies的技巧用电脑直接搜索，找出n = 4时最小的反例：
95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4
现在仍未知道当n > 5时的反例。

【初等几何中欧拉线的证明】
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3,向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三点共线

【欧拉常数】
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

【复数欧拉公式的证明】
将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2>
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>
将<1>式中的x换为ix,得到<4>式；
将i*<2>+<3>式得到<5>式。比较<4><5>两式，知<4>与<5>恒等。
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx，
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

【大师中的大师】
在德国勃兰登堡边境，俄国军队入侵，一家农庄遭到抢劫。不过，当得知农庄的主人是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）后，俄军将领急忙下令给予赔偿，金额远远多于实际损失。
“我们不是对科学作战。”赔偿的同时，将领声明道。在他眼里，欧拉俨然是科学的象征。
故事发生的时间是1760年，距离瑞士人欧拉离开俄国已整整20年。此前，他是俄国圣彼得堡科学院的教授，也是俄国政府以及军事等领域的顾问。
在圣彼得堡，30岁出头的欧拉眼部曾严重感染，可他不顾病情恶化继续研究数学问题，撰写有关造船、声学以及物理学论文，最终右眼失明。也是在这里，他在同事哥德巴赫的影响下，开始了数论研究。因为解决了巴塞尔问题和哥尼斯堡七桥问题等困扰数学家们多年的难题，欧拉在欧洲声名鹊起。
不过，他眼下的身份，已经与俄国无关。他身居柏林科学院院长之位，在柏林住着宽敞的住宅。遭抢的农庄不过是他在乡下的一处财产。
这事最后还是惊动了俄国女皇伊丽莎白，她在亲自赔偿了欧拉的损失后，又额外给了一笔数目可观的钱。
但是，53岁的欧拉对钱和名早已不以为意。
早在5年前，19岁的拉格朗日把自己的著作送给欧拉，欧拉一眼就看出了它们的价值，鼓励小伙子继续研究下去，而他自己则一直被等周问题困扰。4年后，拉格朗日写信告诉了欧拉如何解决等周问题，欧拉的论文很快得以完成。
这位刚刚晋升院长的科学家，并没有立即发表论文，而是等到拉格朗日将解答方法发表后，这才发表了自己的论文。
“这是为了不剥夺应该属于你的荣誉。”欧拉告诉年轻的后辈。
圣彼得堡科学院经常会收到欧拉从柏林寄来的书籍和科学仪器。即便在俄德交战的7年之间，也未曾中断。在科学院，欧拉工作了14年并取得了累累硕果。但他不得不在1741年离开，因为俄国新任统治者不信任外国人。不过，虽然离开俄国，欧拉一直担任圣彼得堡数学期刊的编辑。购买书籍和仪器的钱，正来自他兼职做编辑的薪水。
只是，在柏林，单纯做学问的欧拉过得并不开心。当年邀请他到柏林科学院的腓特烈大帝，对眼前这个只会研究不懂奉承的人，越来越不喜欢。皇太后原本很欣赏欧拉，试着逗引他聊天，但得到的回应只是冷淡的“是”或“不是”。相比之下，他们更为喜欢懂得迎合自己的伏尔泰。
在朝廷里，欧拉甚至被一群善于咬文嚼字的家伙取笑。眼见欧拉不懂取悦朝廷，大帝一怒之下决定为科学院物色新的院长。
恰在此时，俄国的新任统治者叶卡捷琳娜二世向欧拉发出了热情的邀请。1766年,欧拉接受了邀请，再次打点行李回到圣彼得堡。女皇以皇室的规格接待了他，并派出自己的厨师去料理欧拉的膳食。
然而，悲剧却接二连三地来临。他的左眼不久也失明了。房子在一场大火中化为灰烬，他的瑞士仆人冒着生命危险，才把这个又瞎又病的主人背出险境。
唯一值得庆幸的是，他的全部手稿被抢救了出来。正当他为视力修复手术的成功高兴时，伤口却感染了。欧拉的余生从此一片黑暗，“陷入了可怕的长期痛苦之中”。
好在，这丝毫没有妨碍他成为数学史上第二高产的数学家。在彻底失明前，他常常用粉笔把公式写在一块很大的石板上，让儿子阿贝尔抄下来，然后他再口述对公式的说明。失明后，他让儿子将书刊上的文章读给自己听，遇到表格或图像，还得详细描述。而欧拉在解决一个问题或有新发现后，会把结果口述给儿子，然后形成论文。通过这种方式，欧拉陆续撰写了400部著作和论文。
据说，圣彼得堡科学院后来为了整理他的著作，足足忙碌了47年。后人统计，在欧拉的一生中，共写了886部书籍和论文，其中数学占58％，物理学占28％，剩下的是天文学、弹道学、航海学、建筑学等。
面对欧拉的成果，作为数学史上著作数量唯一超过欧拉的人，高斯留下了四个字——“不可替代”。数学家拉普拉斯则直接呼吁：“读读欧拉吧，在任何意义上，他都是我们所有人的大师。”其他的数学家同行，更是经常把18世纪称作“欧拉的世纪”。
只是这个“世纪”，在1783年9月18日便已匆匆结束。长期的失明令欧拉痛苦，但也培养了他超强的心算能力。那天下午，欧拉一边逗小孙女玩，一边心算天文学家新近发现的天王星的运行轨迹。突然，烟斗从他的手中掉落，老人从椅子上滑了下来，嘴里轻声说了最后一句话：“我死了。”

【数独与拉丁方阵】

不少“数独”爱好者都知道，这种游戏的普及多亏了一位名叫戈尔德的新西兰人。此人曾在香港担任法官15年，1 996年退休以后的一次旅行途经日本，在机场偶然发现介绍“数独”游戏的小册子。戈尔德立刻着迷，从此专注于“数独” 游戏的开发推广，他也因此而发了大财。但鲜为人知的是，“数独”游戏本身虽非数学问题，但是其来源却是一种被称之为“ 拉丁方阵”的古老数学问题，最先对它展开研究的就是欧拉。
对于“拉丁方阵”的研究，在欧拉的学术范围内并不占据主要位置。这个问题源自于当年普鲁士国王腓特烈为他的仪仗队排阵。国王有一支由36名军官组成的仪仗队，军官分别来自6支部队，每支部队中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求这36名军官排成6行6列的方阵，每一行，每一列的6名军官必须来自不同的部队，并且军衔各不相同。问题看似简单，腓特烈绞尽脑汁却怎么也排列不出来，于是向著名的数学家欧拉求教。欧拉研究之后告诉国王，不必枉费心机，因为这个问题根本无解。欧拉之后，很多数学家开始研究“拉丁方阵”。
来自n个部队的n种军衔的n×n名军官，如果能排成一个正方形，每一行，每一列的n名军官来自不同的部队并且军衔各不相同，那么就称这个方阵叫正交拉丁方阵。欧拉猜测在
n＝2，6，10，14，18，… 时，
正交拉丁方阵不存在。然而到了上世纪60年代，人们用计算机造出了n=10的正交拉丁方阵，推翻了欧拉的猜测。现在已经知道，除了n＝2，6以外，其余的正交拉丁方阵都存在。