introduction to real math for students who are freshmen in Department of Mathematics of TUFE.
有句话这么说：假如你不希望继续学数学的话，赶紧换一个喜爱的学科吧。所以，假如没有对数学极大的兴趣的话，建议最好在大学1，2年级找到一个喜欢的方向去学习，专业课程跟着进度就好了，不需要额外的学习数学了。
但是，假如真的想念一些数学，并且希望与全世界最NB的人进行brain storm的话，请摒弃一些繁杂的琐事，安心念书，并且还要多念很多书。后悔在我1年级的时候没有人指引我一个学数学的方向，苦苦两年摸索之后，终于有点感触了。
大学1，2年级的课余时间很多，对于跷课的话，能翘的课必翘，这不是教坏，我们已经成人或者马上成人了，（假如你怕自己的GPA或者什么的话，请自行主张）有些课程完全是进行“洗$$脑”，而且它们也不是我们来接受高等教育的重点，所以首先要有选择性的接受课程的安排。
下来是一些关于专业课程的浅谈：
一年级入学，数学专业面对的两本基础课就像两座高山，用高中学的那些工具不足以攀登过去。所以请你们忘记高中所学的数学。大学数学尽管和现代数学差距很大，但离高中以前的初等数学也相去甚远。
=======代数=============
可能刚开始上代数课很不习惯，很显然的东西都要证明推导，但不要忽略这些，这正是代数。我们上的《高等代数》是北大三版的，老实说这不能当书来念，应该是标准的讲义，而且排版较不友好，不适合自学。我们要上的高代包括俩部分内容，一部分是多项式理论，一部分线性代数理论。我们系本科的代数课程有且只有这一门课，当然对于一个要学一些deeper的数学的童鞋来说还远远不够，我们一会再说。
有关高代这部分我主要说线性代数部分，当然别的专业也要开一门名字叫《线性代数》的课程，但是他们基本不会讲有关 “空间”的概念，而我们要学的代数最关键的是有关“空间”的理解，这也是现代数学入门的基础知识。所以要好好学习代数，但是很不适合用订的这本教材，以下说说一些比较不错的教程：
中文：《高等代数简明教程》北大出的这一本书分为上下册，还是很不错的，前面讲行列式的方法比较现代，虽然叫“简明”，但是已经把本科的线性代数都过了一遍。
英文：《线性代数及其应用》西图有这本书的中文版，是比较传统的线代书，要自学的话这本书完全可以胜任，也推荐用这本书来自学线性代数。
代数发展到大学阶段已经不仅仅是要解一次二次方程就可以的了。虽然线性方程还在讨论一次方程组解的问题，但那些不是主要方面，主要的是有关“线性”的理解，线性映射，线性空间，线性变换及其不变量的。
高观点的线性代数书：
中文：龚升《线性代数五讲》。龚升老先生今年年初去世了，网上有这个课程的视频，用抽象代数的观点来看线性代数的，很值得一看，网上有下载版的。
英文：《线性代数应该这样学》西图有这本书的中文版，作者是Sheldon(。。。)，完全是用线性空间理论来讲的，很有特点，可能刚开始念代数的话比较抽象一点。
===========分析==========
下面说说分析，初学大学数学的话，代数不是最棘手的，而是分析，尤其是像《数学分析》这本书一上来讲实数的。数学分析是数学系普遍很畏惧的课程，但其实它也不是很难，如果找对教材，找到它的精髓的话，数学分析是很自然的课程。
分析课程可以分为两部分，也建议从第一部分开始过渡到第二部分来学，当然首先要跟上老师的讲课。以上所说的都是自学的书和步骤。
将分析分成“微积分”和“分析原理”两部分，美国的很多教材都是这么分的，而且这样分比较容易接受。
微积分：
中文：龚升《简明微积分》，需要看的内容包括：函数，一元微分及不定积分，定积分，级数，多元微积分。OK，微积分要学就这么一点东西，很简单的。
中午进阶书：龚升《微积分五讲》和那个线代五讲是一套的，龚老写的书角度还是很高的，念完微积分念点这本薄薄的书你会知道微积分有点什么用。
中文进阶书：齐民友《重温微积分》，本来不建议将这本书放这里，因为它涉及的内容很多，适合大三时看。考虑到从微积分上升到现代分析的观点，还是把它放这来，尽管这本书还不是很现代，只是一个微积分的深入，但是可以领略一下底层的微积分和上层其他方向之间的联系。
外文：有人说 托马斯的《微积分》不错，恕我没有看过，不做评价。
分析原理：
中文：张筑生《数学分析新讲》。北大出的一套数学分析书，很不错，如果再看完微积分的基础上只需念一些重要定理的证明和实数系就够了，这本书没有习题，有专门配套的习题册，鉴于大家都不爱做题的话就不说了。
英文：Rudin《数学分析原理》。要念这本书就念英文原版，很经典的教材，风靡全球高校的数学系。为什么选原版呢？假如真的要念数学的话，英文是必须的，通过读原著不仅可以提升专业英语，而且可以体会原汁原味的证明。当然这本书有中文翻译版。。。
如果觉得分析的这些书有点多看不过来的话，那我只推荐最后一本，也就是Rudin的。用1年的时间好好念，会受益匪浅。
----------------------------------------
如果觉得不过瘾的话，下面是一些深入的东西，也提不上深入，就是在学上面两门课的同时可以同时学的内容。
学到一元微积分完了的时候可以接触常微分方程了，ODE，具体的能解的方程的解法都很简单，很快就可以学会了，重点是解的存在唯一性。后面的稳定性可以暂时不看了。
学完多元微积分之后可以接触PDE了，都不用念曲线曲面的积分就可以看一些最基础的PDE了，就是三类方程中的前两类，波动方程和热方程（热方程可能在学一点Fourier之后再学更好一点）。
微分方程不是那么的fantastic，所以要想领略beautiful math，不得不去念一些深的代数和分析了。
-----代数的入门-----
学完高代，现代的代数学还完全没能入门，就好像学会1，2，3一样还不会1+2=3呢。代数学的真正入门是从抽象代数开始的，因为我们学校不开设这门课程，所以只能自学了，很希望有一个讨论班来一起上这门课。
**************插曲***************（画【×】表示我校不开设此门课程）
数学系应设置的必修专业课程：
代数类：高等代数（线性代数），【×】抽象代数（群论）
分析类：数学分析，实分析（实变函数），复分析（复变函数），泛函分析
方程类：ODE,PDE
几何与拓扑类：解析几何，【×】微分几何，【×】拓扑学（点集拓扑）
其他：概率论，数值分析
**********************************
画×的3门课中除了微分几何外另外两门都是很重要的很需要学习。
*********************************
高代下一门课程是抽象代数，Abstract Algebra。可以念
中文：《近世代数基础》张禾瑞。《抽象代数基础》杨子胥。 或者丘维声，石生明的，内容相近，不很建议读国内的这些书，要不是过时的，要不就是灌输知识的，不是让你领略数学美的。
英文：Rotman。
S.Lang《Algebra》代数经典教材。有本科和研究生两个版本。很正统。
Jacobson，学校逸夫3L有一套英文呢原版，念完第一本就ok了
M.Artin《Algebra》，作者的老爹是S.Lang的老师...正在念这本书，抽象代数不再抽象了。
----------------分析的入门------------
当然还有不得不提的一个人，Stein，很有必要提起他的一套分析书，也需要念完，分析的功底也就有了。其中的第一册Fourier analysis，国内有关这一方向的本科教程好像没有，而这一工具又恰恰是很重要的，所以很需要念念
------
下来不得不提一门很重要的学问---拓扑学，Topology。
从这门学问可以一窥现代数学是怎么一回事。它与分析有大大的关系，其中的点集拓扑学的基础完全可以配合着数学分析来看。而之后的新内容则需要专门来念念，这一个“橡皮几何学”是很有意思的学科。
当我们能把这些书念一遍的话，本科至少应该过去一年了。很遗憾没有在刚入学或者大二的时候，有这么一个指导来指引我如何学数学，浪费了很多时间在没有很大用处的书上。好在如今还来得及，也要按着这个书目来念书，而之后的书单则需要在网上搜索整理得到了。
不过对于新生和2年级的童鞋来说，之后的书单还是有些太难了（至少对我来说是这样），因为很多已经涉及到专业方向的科目了，在此列出一些科目，假如有想了解的可以自行google或者contact我：
代数拓扑、微分拓扑（流形）
黎曼几何、黎曼面
复流形
交换代数
同调代数
代数几何
李群
表示论
算术。
-----------------------------------------------------
要想念数学是件不容易的事，别的诱惑会常常来阻挠你，譬如一门引人入胜的经济学课程，一门有趣的编程课，一门高谈阔论的政。%￥治课都会来干扰你对数学的兴趣，但此时你要记住：
其他神马都是浮云。
假如还是让你摄不下心来念书：
念般若波罗蜜多咒7遍来收心：
“揭谛揭谛，波罗揭谛，波罗僧揭谛，菩提萨婆诃”。
谨记，假如要学不要辜负4年。
咱系的传统是计算数学 计算的底子很强的。
老师们讲课有时漫不经心，仿似找不到传承一样。老师有时候多么可怜，没有一个可以交流学业的TX和同事啊...
奋斗吧，孩儿们。
目标要远大一点...学的要多一点。
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2011年时国庆节写的，删除掉一些无关的内容，第一次公开发布，
有句话这么说：假如你不希望继续学数学的话，赶紧换一个喜爱的学科吧。所以，假如没有对数学极大的兴趣的话，建议最好在大学1，2年级找到一个喜欢的方向去学习，专业课程跟着进度就好了，不需要额外的学习数学了。
但是，假如真的想念一些数学，并且希望与全世界最NB的人进行brain storm的话，请摒弃一些繁杂的琐事，安心念书，并且还要多念很多书。后悔在我1年级的时候没有人指引我一个学数学的方向，苦苦两年摸索之后，终于有点感触了。
大学1，2年级的课余时间很多，对于跷课的话，能翘的课必翘，这不是教坏，我们已经成人或者马上成人了，（假如你怕自己的GPA或者什么的话，请自行主张）有些课程完全是进行“洗$$脑”，而且它们也不是我们来接受高等教育的重点，所以首先要有选择性的接受课程的安排。
下来是一些关于专业课程的浅谈：
一年级入学，数学专业面对的两本基础课就像两座高山，用高中学的那些工具不足以攀登过去。所以请你们忘记高中所学的数学。大学数学尽管和现代数学差距很大，但离高中以前的初等数学也相去甚远。
=======代数=============
可能刚开始上代数课很不习惯，很显然的东西都要证明推导，但不要忽略这些，这正是代数。我们上的《高等代数》是北大三版的，老实说这不能当书来念，应该是标准的讲义，而且排版较不友好，不适合自学。我们要上的高代包括俩部分内容，一部分是多项式理论，一部分线性代数理论。我们系本科的代数课程有且只有这一门课，当然对于一个要学一些deeper的数学的童鞋来说还远远不够，我们一会再说。
有关高代这部分我主要说线性代数部分，当然别的专业也要开一门名字叫《线性代数》的课程，但是他们基本不会讲有关 “空间”的概念，而我们要学的代数最关键的是有关“空间”的理解，这也是现代数学入门的基础知识。所以要好好学习代数，但是很不适合用订的这本教材，以下说说一些比较不错的教程：
中文：《高等代数简明教程》北大出的这一本书分为上下册，还是很不错的，前面讲行列式的方法比较现代，虽然叫“简明”，但是已经把本科的线性代数都过了一遍。
英文：《线性代数及其应用》西图有这本书的中文版，是比较传统的线代书，要自学的话这本书完全可以胜任，也推荐用这本书来自学线性代数。
代数发展到大学阶段已经不仅仅是要解一次二次方程就可以的了。虽然线性方程还在讨论一次方程组解的问题，但那些不是主要方面，主要的是有关“线性”的理解，线性映射，线性空间，线性变换及其不变量的。
高观点的线性代数书：
中文：龚升《线性代数五讲》。龚升老先生今年年初去世了，网上有这个课程的视频，用抽象代数的观点来看线性代数的，很值得一看，网上有下载版的。
英文：《线性代数应该这样学》西图有这本书的中文版，作者是Sheldon(。。。)，完全是用线性空间理论来讲的，很有特点，可能刚开始念代数的话比较抽象一点。
===========分析==========
下面说说分析，初学大学数学的话，代数不是最棘手的，而是分析，尤其是像《数学分析》这本书一上来讲实数的。数学分析是数学系普遍很畏惧的课程，但其实它也不是很难，如果找对教材，找到它的精髓的话，数学分析是很自然的课程。
分析课程可以分为两部分，也建议从第一部分开始过渡到第二部分来学，当然首先要跟上老师的讲课。以上所说的都是自学的书和步骤。
将分析分成“微积分”和“分析原理”两部分，美国的很多教材都是这么分的，而且这样分比较容易接受。
微积分：
中文：龚升《简明微积分》，需要看的内容包括：函数，一元微分及不定积分，定积分，级数，多元微积分。OK，微积分要学就这么一点东西，很简单的。
中午进阶书：龚升《微积分五讲》和那个线代五讲是一套的，龚老写的书角度还是很高的，念完微积分念点这本薄薄的书你会知道微积分有点什么用。
中文进阶书：齐民友《重温微积分》，本来不建议将这本书放这里，因为它涉及的内容很多，适合大三时看。考虑到从微积分上升到现代分析的观点，还是把它放这来，尽管这本书还不是很现代，只是一个微积分的深入，但是可以领略一下底层的微积分和上层其他方向之间的联系。
外文：有人说 托马斯的《微积分》不错，恕我没有看过，不做评价。
分析原理：
中文：张筑生《数学分析新讲》。北大出的一套数学分析书，很不错，如果再看完微积分的基础上只需念一些重要定理的证明和实数系就够了，这本书没有习题，有专门配套的习题册，鉴于大家都不爱做题的话就不说了。
英文：Rudin《数学分析原理》。要念这本书就念英文原版，很经典的教材，风靡全球高校的数学系。为什么选原版呢？假如真的要念数学的话，英文是必须的，通过读原著不仅可以提升专业英语，而且可以体会原汁原味的证明。当然这本书有中文翻译版。。。
如果觉得分析的这些书有点多看不过来的话，那我只推荐最后一本，也就是Rudin的。用1年的时间好好念，会受益匪浅。
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如果觉得不过瘾的话，下面是一些深入的东西，也提不上深入，就是在学上面两门课的同时可以同时学的内容。
学到一元微积分完了的时候可以接触常微分方程了，ODE，具体的能解的方程的解法都很简单，很快就可以学会了，重点是解的存在唯一性。后面的稳定性可以暂时不看了。
学完多元微积分之后可以接触PDE了，都不用念曲线曲面的积分就可以看一些最基础的PDE了，就是三类方程中的前两类，波动方程和热方程（热方程可能在学一点Fourier之后再学更好一点）。
微分方程不是那么的fantastic，所以要想领略beautiful math，不得不去念一些深的代数和分析了。
-----代数的入门-----
学完高代，现代的代数学还完全没能入门，就好像学会1，2，3一样还不会1+2=3呢。代数学的真正入门是从抽象代数开始的，因为我们学校不开设这门课程，所以只能自学了，很希望有一个讨论班来一起上这门课。
**************插曲***************（画【×】表示我校不开设此门课程）
数学系应设置的必修专业课程：
代数类：高等代数（线性代数），【×】抽象代数（群论）
分析类：数学分析，实分析（实变函数），复分析（复变函数），泛函分析
方程类：ODE,PDE
几何与拓扑类：解析几何，【×】微分几何，【×】拓扑学（点集拓扑）
其他：概率论，数值分析
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画×的3门课中除了微分几何外另外两门都是很重要的很需要学习。
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高代下一门课程是抽象代数，Abstract Algebra。可以念
中文：《近世代数基础》张禾瑞。《抽象代数基础》杨子胥。 或者丘维声，石生明的，内容相近，不很建议读国内的这些书，要不是过时的，要不就是灌输知识的，不是让你领略数学美的。
英文：Rotman。
S.Lang《Algebra》代数经典教材。有本科和研究生两个版本。很正统。
Jacobson，学校逸夫3L有一套英文呢原版，念完第一本就ok了
M.Artin《Algebra》，作者的老爹是S.Lang的老师...正在念这本书，抽象代数不再抽象了。
----------------分析的入门------------
当然还有不得不提的一个人，Stein，很有必要提起他的一套分析书，也需要念完，分析的功底也就有了。其中的第一册Fourier analysis，国内有关这一方向的本科教程好像没有，而这一工具又恰恰是很重要的，所以很需要念念
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下来不得不提一门很重要的学问---拓扑学，Topology。
从这门学问可以一窥现代数学是怎么一回事。它与分析有大大的关系，其中的点集拓扑学的基础完全可以配合着数学分析来看。而之后的新内容则需要专门来念念，这一个“橡皮几何学”是很有意思的学科。
当我们能把这些书念一遍的话，本科至少应该过去一年了。很遗憾没有在刚入学或者大二的时候，有这么一个指导来指引我如何学数学，浪费了很多时间在没有很大用处的书上。好在如今还来得及，也要按着这个书目来念书，而之后的书单则需要在网上搜索整理得到了。
不过对于新生和2年级的童鞋来说，之后的书单还是有些太难了（至少对我来说是这样），因为很多已经涉及到专业方向的科目了，在此列出一些科目，假如有想了解的可以自行google或者contact我：
代数拓扑、微分拓扑（流形）
黎曼几何、黎曼面
复流形
交换代数
同调代数
代数几何
李群
表示论
算术。
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要想念数学是件不容易的事，别的诱惑会常常来阻挠你，譬如一门引人入胜的经济学课程，一门有趣的编程课，一门高谈阔论的政。%￥治课都会来干扰你对数学的兴趣，但此时你要记住：
其他神马都是浮云。
假如还是让你摄不下心来念书：
念般若波罗蜜多咒7遍来收心：
“揭谛揭谛，波罗揭谛，波罗僧揭谛，菩提萨婆诃”。
谨记，假如要学不要辜负4年。
咱系的传统是计算数学 计算的底子很强的。
老师们讲课有时漫不经心，仿似找不到传承一样。老师有时候多么可怜，没有一个可以交流学业的TX和同事啊...
奋斗吧，孩儿们。
目标要远大一点...学的要多一点。
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2011年时国庆节写的，删除掉一些无关的内容，第一次公开发布，
已经上完大一的我再看，觉得相当迷茫……
