特征方程是竞赛数列题必考内容，而且对高考中的数列难题也有一定帮助。嗯……敬请期待吧（文章全手写哦）

前排围观，加油
　　 --春又来 人已去
　　　 风烟残 夕阳晚
　　　 樱花开 顷刻散 凌乱

点击量什么情况。。

回来了？！

希望对我的化学有帮助。。。

说明：由于是数列题，许多数学符号打不出来，在这里用大写字母表示数列，“_”表示角标，“_”后的为前面的角标，“ˆn”表示n次方，阅读时请注意括号。

写在前面：
话说我当年做某道模拟题时百思不得其解，只好跑去翻答案，结果答案来了句“由特征方程解得”就直接出答案了，我当场Orz......特征方程是什么？能吃吗？
然后我用了半个小时把那个坑人的特征方程法解出来，一路过的数学大神（恋爱ing）看到我的稿纸立刻来了句：“这不就是特征方程么？”
我Orz again了......
为什么每个人都把特征方程说得这么理所当然啊啊啊！！！
嗯，总之，我就是想说明特征方程这种小儿科的东西虽然学校不讲但对于数竞党（真）们而言就是ABC的水平，你要是不会的话都不好意思做数列题......所以为了造福众生服务大众回报社会，我就来讲解一下这个坑人的特征方程。
（我所讲的方法与常规意义上的特征方程略有不同，有兴趣的同学可以查查正规的解法长什么样）

假设 A_(n+1)=pA_n+qA_(n-1) ① ,A_1,A_2=b,求{A_n}通项公式。
见到这东西首先想到什么？①里面有三个A_n不好推？没错，就连诚哥这样的顶级人渣也只能一次推两个，所以至少要把①式里的三个A_n两两配对。
（哪里不对劲，嗯，都是错觉，错觉......）
好吧，假设存在λ，令 A_(n+1)λA_n=(p-λ)[A_n-λA_(n-1)] ②
而显然 A_(n+1)-λA_n=(p-λ)A_n+qA_(n-1) ③
好了，②③两个等式左边相等，于是(p-λ)[A_n-λA_(n-1)]=(p-λ)A_n+qA_(n-1)-(p_λ)λA_(n-1)=qA_(n-1)λ²-pλ-q=0 ④
而这个④就是传说中的特征方程。

显然，在p²＞4q的情况下，λ有两种解λ_1、λ_2，而且λ_1+λ_2=p,那么就有A_(n+1)-λ_1A_n=(p-λ)[A_n-λA_(n-1)]=λ_2[A_n-λ_1A_(n-1)]=λ²_2[A_(n-1)-λ_1A_(n-2)]=......=λˆn_2(A_2-λ_1A_1) ⑤ =λˆn_2(b-λ_1a)
那么同理，A_(n+1)-λ_2A_n=λˆn_1(b-λ_2a) ⑥
万恶的A_(n-1)终于没了，A_(n+1)和A_n的关系也和常数（b-λa)以及n挂上了钩，不过似乎还差一点什么......A_(n+1)是不是很扎眼？我们不是诚哥，推A_n的时候眼前有一只A_(n+1)是不是很扎眼？
怎么办？剪！
别误会，不是剪那里，是剪掉A_(n+1)。
⑥-⑤得 (λ_1-λ_2)A_n=λˆn_1(b-λ_2a)-λˆn_2(b-λ_1a)A_n=/(λ_1-λ_2)
推倒成功！撒花！

当然了，这个过程是为了便于看懂而写的，事实上在特征方程确定有解的情况下，A_n就能确定地写成 A_n=αλˆn_1+βλˆn_2 的形式了。那么计算α、β的过程完全可以省略，至于怎么省略嘛......
知道传说中数学题七件兵器之首是什么吗？不是拳头，不是圆规，不是折凳，更不是往监考老师身上抡的拳头圆规折凳，而是——特值法。这一招在选择题尤为好用，在推算方程式的题中，只要取出一两个方便计算的特值代进去就能解决60％的该类题，在验算的过程中，特值法也能轻松判断写下的表达式是否有误。那么对应到特征方程法中，特征方程又该如何使用呢？既然 A_n=αλˆn_1=βλˆn_2已知，那么对n取特定的两个值就能得出α、β，取哪两个数呢？题设怎么说来着？A_1=a,A_2=b没错就取1、2.
αλ_1+βλ_2=a ⑦
{
αλ²_1+βλ²_2=b ⑧
那么显然α=(b-λ_2a)/(λ_1-λ_2),β=(b-λ_1a)/(λ_1-λ_2)
具体呈现在试卷上，就是一行特征方程，一行λ_1、λ_2,一行n=1，一行n=2，一行结论，五行式子搞定。复赛一道题至少8分，五行式子不用一分钟写完，一分钟就让你得8分？哪有这么好的事。所以，复赛是绝对不会直接考特征方程的题。不过，也只是“不直接考”而已。

诚如前文所述，特征方程对于竞赛党而言轻而易举，对于高考党而言却是噩梦，最能体现所谓的“略高于课本”。所以复赛每逢数列必有特征，再加上A_(n+1)=pA_n+qA_(n-1)在涂色问题和排列组合中经常出现，而且它还帅气地有一个[(p+√p²+4q)/2]ˆn能运用多项式定理，所以这东西在复赛一卷里出镜率还蛮高的。就好像看起来很高深叫起来很霸气说起来很好懂用起来很方便的薛定谔的猫在日系轻小说里出镜率很高一样可怜薛老爷子死了几十年了还被拉出去涮......
咳，扯远了，总之，所谓的特征方程就是个这种玩意，感谢诸位把这篇又长又没营养的文章看完。

The END

我不是冲着学术来的。。。

数学竞赛是啥玩意好吃吗