问我们我们问谁？

这么多人冒充我

设f:R→R满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且x^2-|x|^1/2＜=f(x)＜=x^2+|x|^1/2,求f(x)

LZ快讲函数方程！

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给出含有一个或多个未知函数的等式或不等式,让求出某函数的具体解析式或证明某函数具有某种性质,这种题目属于函数方程
基本方法有:取特殊值,换元法,利用函数的单射,满射,单调性,柯西爬坡式推理方法

柯西爬坡式推理方法
就是先求出当自变量为整数时的函数解析式,再依次证明该函数解析式对有理数,实数乃至复数也成立
求所有函数f,使f定义在R上,在R中取值,并且在R上连续,对任意实数x,y,有f(x^3+y^3)=(x+y)((f(x)^2-f(x)*f(y)+f(y)^2)①
在①中取x=y=0,有f(0)=0
在①中取x=1,y=0,有f(1)=0或1
在①中取y=0,有f(x^3)=xf(x)^2②
定义**S如下:S中所有元素由满足下面条件的正数a组成:对于任意实数x,有f(ax)=a*f(x)
首先证明,若a^3∈S,则a∈S
事实上,由a∈S,得f(a^3*x^3)=a^3*f(x^3)
利用②,有ax*f(ax)^2=a^3*xf(x)^2
于是当x≠0时有f(ax)^2=a^2*f(x)^2③
由②可知f(x^3)与x同号,所以f(x)与x同号,进而f(ax),a*f(x)都与ax同号,于是利用③得当x≠0时f(ax)=af(x)
显然上式对x=0也成立
所以a∈S
其次,证明,若a^3,b^3∈S,则a^3+b^3∈S
事实上,由a^3,b^3∈S知a,b∈S,于是对于任意实数x,
f((a^3+b^3)x^3)=(ax+bx)(f(ax)^2-f(ax)*f(bx)+f(bx)^2)
=(ax+bx)(a^2*f(x)^2-af(x)*bf(x)+b^2*f(x)^2)
=(a^3+b^3)*xf(x)^2=(a^3+b^3)f(x^3),
从而a^3+b^3∈S
最后,利用数学归纳法证明任意正整数n∈S
事实上,n=1显然成立
假设n=1,2,...,k成立,则令a^3=1,b^3=k,有a^3+b^3=1+k∈S
所以对于任意正整数n和任意实数x,有f(nx)=nf(x)④
下面分f(1)=0,1两种情形讨论
(1)f(1)=1
利用④有f(n)=n对于任意正整数n成立
又在④中取x=m/n,有f(m/n)=m/n对于任意正整数m,n成立
在①中取x=2,y=-1,有7=4-2f(-1)+f(-1)^2
又f(-1)与-1同号,所以f(-1)=-1
于是利用④有f(n)=n对于任意负整数n成立
又在④中取x=m/n,n为任意正整数,m为任意负整数,有f(m/n)=m/n
再结合f(0)=0,有f(x)=x对于任意x∈Q成立
最后,对于任意无理数x,取收敛于x的有理数列{An},有f(An)=An
在f(An)=An中,令n趋于正无穷,取极限得f(x)=x
综上,当f(1)=1时,对于任意实数x,有f(x)=x
(2)f(1)=0
仿上可证明对于任意实数x,有f(x)=0

利用函数的满射
试求出所有的函数f：R→R，使得对于任何的x，y∈R，都有
f（x^2＋y＋f（y）＋y·f（x））＝2 y＋y·f（x）＋（f（x））^2 ①
解:首先f（x）=-2(x∈R)代入①验证不满足条件
所以存在实数a,使f(a)≠-2
在① 中取x=a,有f(a^2+y+f(y)+y*f(a))=y*(2+f(a))+f(a)^2②
在② 中令y取遍全体实数,则右边可以取遍全体实数,从而左边可以取遍全体实数,即f值域为R
于是存在实数b,使f(b)=-1
在① 中令x=b,有f(f(y)+b^2)=y+1 ③
从③ 中易看出f(x)为单射
又由f值域为R知存在实数d,使f(d)=-2
在① 中令x=d得f(f(y)-y+d^2)=4④
利用④和f(x)为单射得f(y)-y+c^2为常数
于是f(x)=x+k(x∈R),其中k为常数
代入①得2k=k^2+2kx对任意x∈R成立
于是令x=1有k=0
综上,所求的f(x)为f(x)=x(x∈R)