第一种情况，五点中有四点共圆，那么这五点共球！

五点中只有三点在球上，就要用到球周角，球周角就是就是一点到底面△BCD所围成的圆锥中侧弦的最大夹角，如下图所示：

上述证法的补充说明！

三面角位于底面△ABC的异侧，它们的圆锥角则互补，图在下面：

圆锥D-Q是偏心圆锥，过底面⊙Q，△DBT是球的最大⊙，与其垂直的过Q点的⊙相交弦MN就是偏心圆锥的最弦最小夹角所经过的面，角的余弦比就是偏心率！

立几中也有一个球心角，那就是过四面体外接球心到底边△ABC各顶点联线所构成的圆锥的圆心角，三棱椎O-ABC是等腰三棱椎，所构成的圆椎是正圆椎！它的外接圆椎角的一半的角度数正好是球心角的度数。

证明：已知：四面体ABCD的外接球O，底面△ABC的外心Q，联结QO并延长交于球于F点，再联结FA、FB、FC、AQ、CQ，BQ并延长交于⊙Q于点E，联结FE∋E∈球，<F、D、A、B、C>五点共球，由楼上的证明知，三棱椎D-ABC的过D点的球周角等于三棱椎F-ABC的过F点的球周角。∵F∈OQ⊂平面OQB∋B，E∈BE⊂平面OQB，∴<F、E、B、O、Q>五点共面，∵<F、A、B、C>∈球O⇒OF=OB=OE⇒△FBE经过球O的最大⊙；∵OQ⊥△ABC所在平面，BQ=QE⇒⊿FBQ≌⊿FEQ⇒FB=FE，∴△FBE为等腰△；Q为BE中点，∴∠OFB=∠OFE，∴∠BOE=2∠BOQ=2（∠OFB+∠OBF）=2（∠OFB+∠OFB）=2（∠OFB+∠OFE）=2∠BFE，∠BFE就是三棱椎F-ABC球周角，再根据楼上定理可知，过四面体D点的球周角正好是球心角的一半！

根据这个公式可以得到一个有用的结论！

偏心圆锥的最长侧棱与最短侧棱的夹角就是侧棱的最大夹角，也就是球周角，它有一对相等棱长的棱就是它的侧棱的最小夹角，决定它的偏心率！图1中的KS与KA的夹角，过K点的高要落在OA上，图3中的MC与MT的夹角，过M点的高落在OC上。

解：∵⊙Q平面⊥OQ⊂平面FDE⇒平面FDE⊥⊙Q平面，∵FG⊥DE=⊙Q平面∩平面FDE⇒FG⊥⊙Q平面⇒FG就是四面体FABC的高，也是∆FDE底边DE上的高；