请教Gauss-bonnet公式的证明

参看陈维桓老师的微分几何第六章第六节

彭家贵的微分几何也可以看。。。
这是说，在一个固定的单连通区域上，曲率面积分+测地曲率边界线积分+不光滑的转角处的外角和=2\pi 。
先考虑边界是简单光滑闭曲线（这时候命题等价转化：曲率面积分+测地曲率边界积分=2\pi）（因为没有转角））
而曲率面积分=联络形式w_12的线积分（用到Green公式还是Gauss还是Stokes公式的某一个）
联络形式w_12线积分 + 测地曲率线积分 =（新建标架，设与原标架辐角差\alpha）=Integral[\alpha,ds]线积分。。。
最后简单光滑闭曲线等价于证明dα的圈积分=2pi。。需要连续变形到圆
第二步考虑分段简单光滑曲线，其中不光滑处用光滑逼近。最后得出。
应用。对于平面多边形，因为平面曲率为0，多边形边界是线段，是最短的，所以说测地线，所以测度曲率=0.。。。
所以推出多边形外角和=2π。。。。。结束。。。
具体还是看书吧。。。