回复：[转] 高数高频易错点+重点题（考前务必请看）

18.一般地：我们有以下结论：lim(x趋向xo)f(x)=a，则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。注意：★若a不为0，上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的]，若a=0，上述结论逆命题仍然成立！
　　19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。在使用极坐标时，应该同时注意到：θ和ρ的任意性。比如：(x，y)趋向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易证明该极限不存在(一条路径：y=x，另一条：y=x^2-x)，倘若使用极坐标，则得：limρ(cosθsinθ)/(cosθ＋sinθ)，此时有分母出现0的可能(取θ=45度)，因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：你无法证明(cosθsinθ)/(cosθ＋sinθ)有界。综上：倘若使用极坐标，须同时考虑θ，ρ的任意性，不可盲目使用。
　20. 注意仅当y=f(x)时有：y'=f'(x)。若y=f(■)，■不等于x时，y'不等于f'(■)。比如：y=f(x^2)，y'=f'(x^2)2x，而不是等于f'(x^2)。下面说明f'(■)和[f(■)]’的区别：f'(■)表示已知f'(x)的表达式，并且把■当做x代入，这个过程是代值过程；而[f(■)]‘的意思是求导，至于对谁求导，则根据■确定。注意：仅当■=x时，f'(■)=[f(■)]’，即：f'(x)=[f(x)]’，其他情况没有这个式子。综上：[f(■)]’=f’(■)■’。

21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。……………………………………ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续，反之不然。
　　22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，强制要求a>0；asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，强制要求b>0。 ………………………………………………………………■ps：为什么要强制要求？[以第一个为例，第二个同理]原因在于：我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值，好处在于u在[-派/2，派/2]上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调)，事实上，u的范围就是[-派/2，派/2]，由此我们再来看给出的公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u)，将右边展开得：√(a^2+b^2)cosusinx+√(a^2+b^2)sinucosx，根据待定系数原则可得：cosu=a/√(a^2+b^2)，倘若我们不控制a>0，比如取a<0的话，那么cosu<0，显然u的范围已经落在二三象限中去了，而我们规定u在[-派/2，派/2]，即一四象限，由此出现矛盾，所以a必须大于0，u的范围才吻合公式左右。
　　23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？其实，原因很简单。在于：dφ，dθ，dρ，dx，dy，dz，dr都是正数。

24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。我相信不止一个人考虑过这个问题。请看：求定积分I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx，当然可以用面积来做，这里为了说明疑问，不用面积做，而用三角换元做。……………★书上对定积分换元法的说明是这样的：设f(x)在[a,b]上连续，【当t从α变到β时，x=φ(t)要从φ(α)=a(单调地）变到φ(β)=b,这里不必要求φ(t)单调，即不必要求x=φ(t)有反函数存在】，但不允许x=φ(t)的取值变到区间[a,b]之外。此外，还要求φ(t)在[α,β]上具有连续的导数φ’(t)，这时，定积分的换元公式才成立。…………………………■：简单说就是满足两个条件，单值加连续导数。…………■下面来做本题：令x=asint，则dx=acostdt， 【当x=0时，t取0，x=a时，t取：派/2】，对于这个【】里面的过程有些同学无法接受，[问题1]凭什么x=0，t要取0，为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t？ [问题2]凭什么一定要上限>下限。 解答问题1：首先为了满足单值，不可以取一个形如[派，5派/2]的区间去对应原来的[0，a]尽管相对于x　　尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件[单值]，在此区间[派，5派/2]内x=asint不是单值的[意思是：令x=k，解得t不唯一]。所以不能取一个区间不满足单值的。比如：你取一个[0，派/2]这样的就是合适的，当然你取[派，派/2]这个也是对的，为什么请看证明？我们无疑地知道I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然]，下面通过计算来说明为什么取t属于[派，派/2]也是正确的。I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到(派/2)]a|cost|costdt。[说明：这里开根号注意是绝对值]，由于此时t的范围是[派，派/2]，所以cost<0，去绝对值时请注意这点，下面再用降幂公式易证答案正确。 ……………ps：你取任何一个单值区间满足题意都是正确的 。只不过计算过程的问题。 …………………………… 解答问题2：事实[问题1]证明在换元时可以上限<下限。 ■：综上：三角换元 可以取你想取的值，但是请注意使用条件以及计算的简便化。 末了附注：本题中a>0　　25.收敛级数加括号仍然收敛，发散级数加括号未知；正项级数敛散形不受加括号的影响。