若集合A上存在合成映射“-”、“*”，满足：
1） 任给x,y∈A，有x*y∈A；
2） 存在a∈A，使得任给x∈A，有a*x=a；
3） 存在A的子集B，使得任给x,y∈A，x-y=y-x∈B；
4） 任给x,y∈B，有x*y∈B；
5） B上存在反自反、反对称、传递的关系<，使得任给x,y∈B，若x≠y，则x<y和y<x必有一式成立；
6） 任给x∈B，若x≠a，则a<x；
7） 任给x,y,z∈B，若x-y=z且y<x或z<x，则x-z=y；
8） 任给x,y∈B，存在z∈B且x<z，使得z-x=y；
9） 任给x,y∈B且x<y，存在z∈B，使得x<z且z<y；
10） 任给x,y∈B，若x<y，则任给z∈B且z≠a，则x*z<y*z；
11） 任给x,y,z∈A，若(x-z)-(y-z)≠x-y，则(x-z)-(y-z)<x-y；
则称A与-、*为数体，记做[A,-,*]，称A为数集，A中的元素为数，B为根数集，B中的元素为根数。
说明：
1、 所谓合成映射，就等价于二元运算，在数未定义出来之前就使用“二”这个具体的数，不妥，故改用合成映射的说法。x-y一类的运算也可改写成映射的形式，即x-y=-(x,y)，右边的“-”就相当于一个映射符号。
2、 “-”运算不是通常的减法运算，而是求两个数之间的“距离”，可简称为距运算，通过距运算可定义出通常意义的加法运算。第7）8）条实际上就是加法运算的性质。
3、 第11）条相当于说三角形的任意两边长和大于第三边。