新人求助，清华助教的显然结论。。没懂，大神们帮忙看看吧

由r(A^2)=r(A), 及Jordan标准型理论，知A属于0特征值的Jordan块都是1阶的，从而存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为分块对角矩阵diag{A_1, 0}，其中A_1为r阶可逆上三角矩阵。又由AB=BA=0，可得P^{-1}BP=diag{0, B_1}，其中B_1为n-r阶矩阵。进而r(A+B)=r(P^{-1}(A+B)P)=r(daig{A_1,B_1})=r(A)+r(B)。