11年的一道老题

计神的配方

杏坛孔门的配方

今晚的办法：式子右边化成3次的，找出a^3,b^3,c^3，最简形式a^3+b^3+8c^3，要用均值的话等号成立条件是a=b=2c，带回右边式子确定k是100
证明的话除了乘开得到的20abc，2(a^3+b^3+8c^3)，剩下的式子配成每一项相等的，化成c找系数最小的就行，分别放缩为20abc（保留），2*3*2（a^3b^3c^3)^1/3，2*34(a^34b^34c^34)^1/34，即有K=100。。。
其实系数34的那个我没算，就是看看能提出2，再加上之前那两项离100还差68

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方法也是各式各样。。。。

因为关于ab对称，猜测a=b时应该取等，不过无论怎样，我们都可以先令a=b=x，且a+b+c=1。则知道
k<=(40x^2-48x+16)/(x^2(1-2x))
右边最小值为100，x=2/5。
于是应该猜测取等条件为a=b=2c。
现在来证明100abc/(a+b+c)<=(a+b)^2+(a+b+4c)^2是对的，这次不妨设abc=1。
去分母，展开，就是要证明(a+b+c)(a^2+b^2+8c^2+2ab+4bc+4ac)>=50
利用均值：
a+b+c=a/2+a/2+b/2+b/2+c>=5*2^(-4/5)(ab)^(1/5)
a^2+b^2+8c^2+2ab+4bc+4ac=a^2+b^2+4c^2+4c^2+ab+ab+2bc+2bc+2ac+2ac>=10*2^(4/5)c^(1/5)
相乘就得到。