哥德尔第二不完备性定理的简单说明

在得出第一不完备性定理的条件下，第二不完备性定理是容易说明（不是证明！）的。
1，在假定（充分强的）形式系统S自洽的前提下，可以证明S中的哥德尔语句P（粗略地说，形如“P不可证明-|S”的句子在S中的表达）是真的。因为如果P是假的，则S就是不自洽的（假命题可以被证明）。这个证明中需要用到理应独立于S的假设“S是自洽的”，从而，我们证明了P，但不是在S中。
2，因此，如果S中可以证明“S是自洽的”，那么这意味着我们可以在S中完成1的整个推理，不需要额外假设“S是自洽的”，从而我们可以在S中证明P是真的，然而这和P不可在S中证明矛盾。故，能够证明其自洽的S是不自洽的。
容易看出，能够证明其不自洽的S同样是不自洽的。
故，自洽而又充分强的S必定是一个不能判定其自身自洽性的形式系统。