炫智商---海盗分金问题
【题目】：5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地做出判断，从而做出选择。
【问题】：第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化？
【答案】：
从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。
不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。
同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！
答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
【那么，变一下题目】
【题目2】：5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，半数或者超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地做出判断，从而做出选择。
【问题】：第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化？
【答案】假设1、2、3号已被扔入海中，则4号的方案必为100、0，且必定通过。故5号在得到3号1个金币的情况下会坚决支持3号的方案。
3号的方案必为（99，0，1），且必定通过。故4号在得到2号1个金币的情况下会坚决支持2号的方案。
2号的方案必为（99，0，1，0），且必定通过。2号不能把给4号的1个金币给5号，5号未必坚定地支持2号的方案，因为3号必定通过的方案也能让他得到1个金币。为了万无一失的保命，2号必须选4号，且必定通过。故3号、5号在各得到1号1个金币的情况下会坚决支持1号的方案。
1号的方案必为（98，0，1，0，1），且必定通过。
故答案是：（98，0，1，0，1）。
【接下来，是大神们将变过后的题目推广，做出的解答。学霸们可以自行理解，小编的脑细胞已经全数战亡。】
【题目推广】有X（1=<X=<202）个海盗，100颗宝石，其它规则同上。
则1号海盗的最大化收益 Y=101-（（X+1）/2所得数取整）。
（当X=201及X=202时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）
Z（2=<Z=<X）号海盗的收益：Z为奇数时收益为 1， Z为偶数时收益为 0 。
对于X>202时情况，可先在X=500个的情况下进行讨论，然后再作推广。
依然是使用倒推法。
203号海盗必须获得102张赞成票，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论203号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
204号海盗必须获得102张赞成票，203号为了能保住性命，就必须让204号的方案通过，避免由203号自己来提出分配方案，所以无论204号海盗提出什么样的方案，都可以得到203号的坚定支持。这样204号海盗就可以保命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及用100个宝石收买到的100名同伙的赞成票，刚好达到所需的半数支持。能从204号那里获得1个宝石的海盗，必属于按照202号海盗的方案将一无所获的那102名海盗之列。
205号海盗必须获得103张赞成票，但他无法用100个宝石收买到102名同伙的支持。因此，无论205提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
206号海盗必须获得103张赞成票，他可以得到205号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论206号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
207号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号和206号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论207号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
208号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号、206号、207号的坚定支持，加上他自己1票以及收买的100票，使他得以保命。从208号那里获得1个宝石的海盗，必属于那些按照204号方案将一无所获的那104名海盗之列。
眼下可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能通过的海盗（他们的分配方案全都是把宝石用来收买100名同伙，自己连1个宝石都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提出什么样的方案都会被扔进海里。因此，为了保命，他们必会投票支持排在他们前面的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，
即200+1、200+2、200+4、200+8、200+16、200+32、200+64、200+128、200+256。即200+2的0次幂，200+2的1次幂，200+2的2次幂，200+2的3次幂，200+2的4次幂，200+2的5次幂，200+2的6次幂，200+2的7次幂，200+2的8次幂，
即其号码等于200加2的某次幂。
【对本题作更一般的推广】
有X个海盗，A 颗宝石，其它规则同上。
当X=<2A+2时，
则1号海盗的最大化收益Y=A+1-（（X+1）/2所得数取整）。
（当X=2A+1及X=2A+2时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）
Z号（2=<Z=<X）海盗的收益：Z为奇数时收益为 1， Z为偶数时收益为 0 。
当X>2A+2时，
若X=2A+2的B次幂，则1号海盗可保命，但无收益。其他海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。
若X不等于2A+2的某次幂，设B=b是能使（X>2A+2的B次幂）成立的最大B，则（X+1-（2A+2的b次幂））号海盗可保命，但无收益。之前的海盗都会被扔到海里去喂鱼。之后的海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。
【题目】：5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地做出判断，从而做出选择。
【问题】：第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化？
【答案】：
从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。
不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。
同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！
答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
【那么，变一下题目】
【题目2】：5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，半数或者超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地做出判断，从而做出选择。
【问题】：第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化？
【答案】假设1、2、3号已被扔入海中，则4号的方案必为100、0，且必定通过。故5号在得到3号1个金币的情况下会坚决支持3号的方案。
3号的方案必为（99，0，1），且必定通过。故4号在得到2号1个金币的情况下会坚决支持2号的方案。
2号的方案必为（99，0，1，0），且必定通过。2号不能把给4号的1个金币给5号，5号未必坚定地支持2号的方案，因为3号必定通过的方案也能让他得到1个金币。为了万无一失的保命，2号必须选4号，且必定通过。故3号、5号在各得到1号1个金币的情况下会坚决支持1号的方案。
1号的方案必为（98，0，1，0，1），且必定通过。
故答案是：（98，0，1，0，1）。
【接下来，是大神们将变过后的题目推广，做出的解答。学霸们可以自行理解，小编的脑细胞已经全数战亡。】
【题目推广】有X（1=<X=<202）个海盗，100颗宝石，其它规则同上。
则1号海盗的最大化收益 Y=101-（（X+1）/2所得数取整）。
（当X=201及X=202时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）
Z（2=<Z=<X）号海盗的收益：Z为奇数时收益为 1， Z为偶数时收益为 0 。
对于X>202时情况，可先在X=500个的情况下进行讨论，然后再作推广。
依然是使用倒推法。
203号海盗必须获得102张赞成票，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论203号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
204号海盗必须获得102张赞成票，203号为了能保住性命，就必须让204号的方案通过，避免由203号自己来提出分配方案，所以无论204号海盗提出什么样的方案，都可以得到203号的坚定支持。这样204号海盗就可以保命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及用100个宝石收买到的100名同伙的赞成票，刚好达到所需的半数支持。能从204号那里获得1个宝石的海盗，必属于按照202号海盗的方案将一无所获的那102名海盗之列。
205号海盗必须获得103张赞成票，但他无法用100个宝石收买到102名同伙的支持。因此，无论205提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
206号海盗必须获得103张赞成票，他可以得到205号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论206号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
207号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号和206号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论207号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。
208号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号、206号、207号的坚定支持，加上他自己1票以及收买的100票，使他得以保命。从208号那里获得1个宝石的海盗，必属于那些按照204号方案将一无所获的那104名海盗之列。
眼下可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能通过的海盗（他们的分配方案全都是把宝石用来收买100名同伙，自己连1个宝石都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提出什么样的方案都会被扔进海里。因此，为了保命，他们必会投票支持排在他们前面的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，
即200+1、200+2、200+4、200+8、200+16、200+32、200+64、200+128、200+256。即200+2的0次幂，200+2的1次幂，200+2的2次幂，200+2的3次幂，200+2的4次幂，200+2的5次幂，200+2的6次幂，200+2的7次幂，200+2的8次幂，
即其号码等于200加2的某次幂。
【对本题作更一般的推广】
有X个海盗，A 颗宝石，其它规则同上。
当X=<2A+2时，
则1号海盗的最大化收益Y=A+1-（（X+1）/2所得数取整）。
（当X=2A+1及X=2A+2时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）
Z号（2=<Z=<X）海盗的收益：Z为奇数时收益为 1， Z为偶数时收益为 0 。
当X>2A+2时，
若X=2A+2的B次幂，则1号海盗可保命，但无收益。其他海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。
若X不等于2A+2的某次幂，设B=b是能使（X>2A+2的B次幂）成立的最大B，则（X+1-（2A+2的b次幂））号海盗可保命，但无收益。之前的海盗都会被扔到海里去喂鱼。之后的海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。
