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浅谈“微元法”在物理上的应用
在高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难的加以解决。例如对于求变力所做的功或者对于物体做曲线运动时某恒力所做的功的计算；又如求做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的。下面我们通过几个求变力做功的例题来加以说明。
一、利用在“微元”中变力做功的特点推导出力所做的总功。
〔例题1〕试证明：对于做匀速圆周运动的物体，其向心力所做的功为零。
分析与解：在匀速圆周运动中，向心力始终指向圆心，是一个变力，因此不能使用 来求解。可以考虑在极短的时间 内物体所走过的一极小的圆弧 ，图（1）所示。由于所取的圆弧足够小，因而可以将圆弧作为直线来处理。时间足够小，对于向心力也可认为其方向未发生变化，视为恒力来处理，且向心力和 相互垂直。则在 时间内，向心力所做的功为：
F
考虑整个过程，对于圆周上的每段圆弧 皆有上述结果，则在整个过程中向心力所做的功为：
图（1）
〔注〕由上可知，无论物体做什么运动，如果在物体的运动过程中，某个力的方向与其运动方向始终是垂直关系，则在物体的运动过程中，由“微元法”可知，这个力对物体不做功，带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力不做功正是这个道理。
•O
mg
mg
f1
f2
图（2）－b
〔例题2〕如图（2）－a所示，质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆环做圆周运动，小车与圆环间的动摩擦因数为 ，试求小车从轨道最低点运动至最高点的过程中摩擦力所做的功。
•O
V
图（2）－a
分析与解：本题中小车的运动为圆周运动，小车对轨道的压力大小方向在不断的变化，导致轨道与小车间的摩擦力大小方向也在不断的变化也是个求变力做功的问题。把握住小车的运动相对圆点有明显的对称，利用“微元法”，我们取两个对称的微元进行研究。
如图（2）－b，在圆环上去两个对称点A和B，OA和OB与竖直的直径的夹角均为 ，小车在做匀速圆周运动，在A、B两点的向心力为：
在A、B两点取两段无穷小的圆弧，摩擦力在A、B两点所做的微元功为：
则
则小车由最低点运动至最高点的过程中，摩擦力所做的总功为：
〔注〕“对称”是本题的特点，“微元法”是具体的解法。若本题不采用对称的方法求解，又不能用 求功，则必须研究小车的牵引力，利用动能定理来求解。而这对于本题是不可能有结果的。“对称法”也是物理解题中一种常用的方法。
二、“化曲为直”求变力所做的功。
O
F
O
F
图（3）－a
图（3）－b
〔例题3〕 如图（3）－a所示，某个力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F做的总功为多少？
分析与解：由于力F的方向与作用点的速度方向一致，因此力F做功不为零，且此力不为恒力。可以考虑把圆周划分为很多“微元”来研究。如图（3）－b所示。当各小段的弧长
这等效于将本是曲线的圆周拉直。在这里，力Ｆ所做的功相当于力和物体运动路程的乘积。
三、结合数学归纳法，巧求变力所做的功。
〔例题4〕如图（4）－a所示，半径为r的半球形水池，装满密度为ρ的水，要将池内的水抽干，至少要做多少功？
分析与解：按题目的要求，只要将水抽至水面的高度就可以了。可以设想将水分成n层，则每层水的厚度为 ，将一层一层的水，即“微元”抽至水面即可。
如图（4）－b所示，取水面下第i层水考虑，则第i层水的厚度为r/n，其距水面的高度为ir/n，则第i层水的半径为：
则这层水的质量为：
将这层水抽至水面所做的功为：
所以，将全部抽至水面所需要做的功为：
当 ，则：
〔注〕此题使用“微元法”，还要结合使用数学方法求和得出结果，若此题不用这种方法，会很难下手。
“微元法”虽然是在物理竞赛中使用比较多，但在我们平常的训练中也不失为一种好方法。它并不局限在求变力做功的问题上，在一些求解瞬时速度、曲线运动的轨迹方程等方面都有着很广的运动，作为大学知识在高中的应用，“微元法”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维，对于高中特别是高三的学生，应当要熟练掌握。
足够小（ 时，在这 内F的方向几乎与该小段的位移重合，则F做的总功为：
http://hi.baidu.com/%BE%DE%D0%B7%D7%F9ll/blog/item/745387f9833ce25d252df213.html
在高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难的加以解决。例如对于求变力所做的功或者对于物体做曲线运动时某恒力所做的功的计算；又如求做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的。下面我们通过几个求变力做功的例题来加以说明。
一、利用在“微元”中变力做功的特点推导出力所做的总功。
〔例题1〕试证明：对于做匀速圆周运动的物体，其向心力所做的功为零。
分析与解：在匀速圆周运动中，向心力始终指向圆心，是一个变力，因此不能使用 来求解。可以考虑在极短的时间 内物体所走过的一极小的圆弧 ，图（1）所示。由于所取的圆弧足够小，因而可以将圆弧作为直线来处理。时间足够小，对于向心力也可认为其方向未发生变化，视为恒力来处理，且向心力和 相互垂直。则在 时间内，向心力所做的功为：
F
考虑整个过程，对于圆周上的每段圆弧 皆有上述结果，则在整个过程中向心力所做的功为：
图（1）
〔注〕由上可知，无论物体做什么运动，如果在物体的运动过程中，某个力的方向与其运动方向始终是垂直关系，则在物体的运动过程中，由“微元法”可知，这个力对物体不做功，带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力不做功正是这个道理。
•O
mg
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f1
f2
图（2）－b
〔例题2〕如图（2）－a所示，质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆环做圆周运动，小车与圆环间的动摩擦因数为 ，试求小车从轨道最低点运动至最高点的过程中摩擦力所做的功。
•O
V
图（2）－a
分析与解：本题中小车的运动为圆周运动，小车对轨道的压力大小方向在不断的变化，导致轨道与小车间的摩擦力大小方向也在不断的变化也是个求变力做功的问题。把握住小车的运动相对圆点有明显的对称，利用“微元法”，我们取两个对称的微元进行研究。
如图（2）－b，在圆环上去两个对称点A和B，OA和OB与竖直的直径的夹角均为 ，小车在做匀速圆周运动，在A、B两点的向心力为：
在A、B两点取两段无穷小的圆弧，摩擦力在A、B两点所做的微元功为：
则
则小车由最低点运动至最高点的过程中，摩擦力所做的总功为：
〔注〕“对称”是本题的特点，“微元法”是具体的解法。若本题不采用对称的方法求解，又不能用 求功，则必须研究小车的牵引力，利用动能定理来求解。而这对于本题是不可能有结果的。“对称法”也是物理解题中一种常用的方法。
二、“化曲为直”求变力所做的功。
O
F
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图（3）－a
图（3）－b
〔例题3〕 如图（3）－a所示，某个力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F做的总功为多少？
分析与解：由于力F的方向与作用点的速度方向一致，因此力F做功不为零，且此力不为恒力。可以考虑把圆周划分为很多“微元”来研究。如图（3）－b所示。当各小段的弧长
这等效于将本是曲线的圆周拉直。在这里，力Ｆ所做的功相当于力和物体运动路程的乘积。
三、结合数学归纳法，巧求变力所做的功。
〔例题4〕如图（4）－a所示，半径为r的半球形水池，装满密度为ρ的水，要将池内的水抽干，至少要做多少功？
分析与解：按题目的要求，只要将水抽至水面的高度就可以了。可以设想将水分成n层，则每层水的厚度为 ，将一层一层的水，即“微元”抽至水面即可。
如图（4）－b所示，取水面下第i层水考虑，则第i层水的厚度为r/n，其距水面的高度为ir/n，则第i层水的半径为：
则这层水的质量为：
将这层水抽至水面所做的功为：
所以，将全部抽至水面所需要做的功为：
当 ，则：
〔注〕此题使用“微元法”，还要结合使用数学方法求和得出结果，若此题不用这种方法，会很难下手。
“微元法”虽然是在物理竞赛中使用比较多，但在我们平常的训练中也不失为一种好方法。它并不局限在求变力做功的问题上，在一些求解瞬时速度、曲线运动的轨迹方程等方面都有着很广的运动，作为大学知识在高中的应用，“微元法”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维，对于高中特别是高三的学生，应当要熟练掌握。
足够小（ 时，在这 内F的方向几乎与该小段的位移重合，则F做的总功为：
http://hi.baidu.com/%BE%DE%D0%B7%D7%F9ll/blog/item/745387f9833ce25d252df213.html
