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这种问题一般需要用到实变函数. 所以不是一般意义上的数学分析题目.
问题的解答颇为复杂, 如果是原创, 属于可以写一篇小论文的. 我的解法大致步骤如下, 每一步都有一定难度 , 如果还看不懂建议暂时不要纠结此类问题. 不知道是否有更好的解法.
1. 设 f 的原函数为 F, 如果 f 在某个区间上有界, 则 F 绝对连续. 从而在该区间上, Newton-Leibniz 公式成立.
2. 任一区间都包含一个小区间, 使得 f 在该小区间上有界.
3. 函数 g(x)=cos (1/x) (定义 g(0)=0) 有原函数.
4. 若 f 在 (a,b) 上有界, 任取 y 属于 (a,b), 对足够小的 c, 考虑函数 f(cg(x)+y)-f(y), 可对该函数从 0 到 x 积分, 然后直接求在零点的导数(除以 x 以后, 令x趋于零, 求极限), 则该极限为零. 从而得到一个关系式. 利用该关系式可得 f 在 (a,b) 连续, 连续可微, 二阶连续可微,..., 并得到其二阶导数为零. 即 f 在 (a,b) 是线性的
5. 由以上讨论, 若 f 在某一点的一个邻域内有界, 则 f 在该点连续, 且在该邻域内为线性函数. 从而, 若 f 在某一点不连续, 则一定在该点的任一邻域内无界. 设 f 所有不连续点为 E. 如果 E 为空集, 则问题解决. 否则 E 必然是一个完备疏朗集.
6. 类似于第2点, 可以证明, 如果 E 是一个非空的完备集, f 是一个导函数. 则 f 必在 E 中某一点附近有界. 结合第5点知道5中的 E 必然是空集.
由以上各点得到最后结论.
问题的解答颇为复杂, 如果是原创, 属于可以写一篇小论文的. 我的解法大致步骤如下, 每一步都有一定难度 , 如果还看不懂建议暂时不要纠结此类问题. 不知道是否有更好的解法.
1. 设 f 的原函数为 F, 如果 f 在某个区间上有界, 则 F 绝对连续. 从而在该区间上, Newton-Leibniz 公式成立.
2. 任一区间都包含一个小区间, 使得 f 在该小区间上有界.
3. 函数 g(x)=cos (1/x) (定义 g(0)=0) 有原函数.
4. 若 f 在 (a,b) 上有界, 任取 y 属于 (a,b), 对足够小的 c, 考虑函数 f(cg(x)+y)-f(y), 可对该函数从 0 到 x 积分, 然后直接求在零点的导数(除以 x 以后, 令x趋于零, 求极限), 则该极限为零. 从而得到一个关系式. 利用该关系式可得 f 在 (a,b) 连续, 连续可微, 二阶连续可微,..., 并得到其二阶导数为零. 即 f 在 (a,b) 是线性的
5. 由以上讨论, 若 f 在某一点的一个邻域内有界, 则 f 在该点连续, 且在该邻域内为线性函数. 从而, 若 f 在某一点不连续, 则一定在该点的任一邻域内无界. 设 f 所有不连续点为 E. 如果 E 为空集, 则问题解决. 否则 E 必然是一个完备疏朗集.
6. 类似于第2点, 可以证明, 如果 E 是一个非空的完备集, f 是一个导函数. 则 f 必在 E 中某一点附近有界. 结合第5点知道5中的 E 必然是空集.
由以上各点得到最后结论.
