对定积分的被积函数求导，是怎么个求法？

我想求问两个问题：
1、对定积分的被积函数求导，到底是什么定理？ 我似乎感到这个和泛函有关。。。
我之前，一直为了省事，就把定积分当求和来看的，虽然结果还是那样，但总感觉不严谨。
2、构造拉格朗日后，如（2）式求出的一阶导数，即dL/dq(ω)，这样也能保证L是最优吗？ 我的理解是，反正是控制好q(ω)，使得函数U获得最大化就可以了。