08考研真题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数 则 的零点个数（   ）
 0  1           2  3
解：、 .
解： 
 ，恒大于0，所以 在 上是单调递增的.
又因为 ，根据其单调性可知 只有一个零点.
（2）函数 在点 处的梯度等于（   ）
     -               
解； .
解：由   
 
所以 
（3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（   ）
  .   .
  .   .
解： .
解：由 可知其特征根为 .
故对应的特征方程为  
 
所以所求微分方程为 ,   选 .
（4）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（   ）
 若 收敛，则 收敛.          若 单调，则 收敛.
 若 收敛，则 收敛.  若 单调，则 收敛.
解：
（5）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（   ）
  不可逆， 不可逆.   不可逆， 可逆.
  可逆， 可逆.       可逆， 不可逆. 
解：选 
分析： ， 
故 均可逆。
（6）设 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 的正特征值个数为（   ）
 0.  1.  2.  3. 
解：选 
分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 ，故 的正特征值个数为1。
（7）设随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（   ）
   .            .
   .         . 
解：选 
  
（8）设随机变量 ， 且相关系数 ，则（   ）
   .   .
  .   . 
解：选（D）
用排除法
设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除（A）（C）
由 ，得
 
 
排除（C）
   故选择（D）