先从点阵说起吧。
晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列构成的固体物质。周期性是晶体结构最基本的特征。
说到周期性，也许有些人会想到周期函数，没错，这两者之间有着密切的联系。周期函数的图像可以看成是一小段图像沿x轴重复排列而形成的，而在晶体中，分子或原子也是在三维空间作周期性的重复排列。每一个重复单位的化学组成相同，空间结构相同【这句话我会在后面解释】。
这样的重复单位千变万化，为了方便研究，我们将其抽象为一组点，这些点在三维空间按一定周期重复，便构成了【点阵】。
点阵是一组无限个全同点的集合。所谓全同，即其化学组成与几何结构完全相同。而且还有一要求：即连接其中任意两点可得一矢量，将各个点按此矢量平移能使他复原。
这句话有些抽象，我会举一些实例。
先介绍一下结构基元的概念。
前面提到点阵在空间中作重复排列，而点阵中每个点所代表的具体内容，称为【结构基元】。
注：点阵点是一组抽象的点，它只是一个【数学模型】，而结构基元是指重复周期中的【具体内容】，这两者不可以混淆。
将沿着某一方向周期的重复排列的结构基元，抽象出一组分布在同一直线上等距离的点列，称为直线点阵。
在这里举一个实例。

如图，上面为一行等距排列的空心圆球，下面为其抽象出来的一组点阵。沿其中任意两点所连接形成的矢量平移，该点阵都可以复原【在此假设这组点阵可以无限延伸】。此处只给出了一种平移方法，其余的方法不言自明。

而如上图所示，相邻两球间的距离不再相同，若是仍把每个球抽象成一个点阵点的话，则如图，不满足平移对称性。【所谓平移对称性，即连接其中任意两点可得一矢量，将各个点按此矢量平移能使他复原。】而此时显然做不到。
那么怎么处理呢？只要我们将靠的近的两个球看成一个整体，抽象为一个点阵点处理即可，这个点设在无论左边的球，右边的求，两球中间，或是空间中的任意位置均可，只要满足【平移对称性】。

类似的情况如上图所示，此处不再赘述。
若一组点在某一平面内周期性排列，则称其为【平面点阵】。我们规定，在二维周期结构中，周期重复的单位，即结构基元一定是【平行四边形】。

如图示，图中虚线标出的即为一个结构基元，其平移对称性请读者自行验证。
而对于如下情况：

一组球在平面内如图示排列，若是将每个球抽象为一个点阵点，则显而易见，不满足平移对称性。

若是将每一个大球抽象为一个点阵点，则满足平移对称性，图中的虚线框即为一个结构基元。与直线点阵同理，对于一个结构基元来说，点阵点可以设于平行四边形的顶点，中心，乃至空间中的任意一个位置，只要【平移对称性】不变。
补充说明：在平面点阵中，对于平行四边形顶点上的点阵点按1/4计，边上的点阵点按1/2计，而内部的点阵点直接计数，将这些计数加和，便得到每个平行四边形中点阵点的数目。

三维空间中的点阵同理。
在晶体的三维周期结构中，按照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状完全相同的【平行六面体】，作为晶体结构的基本重复单位，称为【晶胞】。
此处【平行六面体】的形状也是人为规定，使用其他形状如六棱柱并无不妥，只是习惯问题。
在三维晶胞中对于点阵点的计数类似于平面中，顶点处的点阵点按1/8计，棱上1/4，面上1/2，内部直接计数，将其相加，便得到点阵点数目。
能用一个点阵点代表晶胞中的全部内容者，称为【素晶胞】，它即为一个结构基元。含2个或2个以上结构基元的晶胞称为【复晶胞】。
注：无论是平面晶胞还是三维空间中的晶胞，都是占有面积/体积的，而点阵点只是一组点列，是一个抽象的数学模型，没有体积。
对于三维点阵，举几个常见的错误例子。

如果上图中的红球和黄球都是碳原子的话，那么这就是我们所熟知的物质——立方金刚石（虽然我用的立方硫化锌的图）。
若将其中的每一个C原子抽象为一个点阵点，如图，则不满足平移对称性（右下角的红球平移至棱心处，而棱心是没有原子的。）
解决方法也很简单，将每个黄球视为点阵点即可，其平移对称性请读者自行验证。

再举一个常见的例子，Mg晶体，图中所有的原子都是镁原子，实线画出的即为晶胞，若将其每个原子抽象为点阵点，不满足平移对称性，如图。若将其顶点处的原子视为点阵点，平移对称性即很好地解决了（自行验证）。
有了点阵与晶胞，自然要将其定量的描述，于是我们引入了【点阵参数】和【晶胞参数】的概念。
在直线点阵中，相邻两个点阵点连成的矢量即为直线点阵的单位矢量a（箭头打不出，也没有加粗功能，凑合着看，至于表示的是矢量还是长度我相信你们能看懂）。矢量的长度|a|称为该直线点阵的【点阵参数】。
由于平移对称性，平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并可选择两个不平行的单位矢量a和b划分成并置的平行四边形单位，这里假设点阵中各点都位于平行四边形的顶点上。矢量的长度|a|和|b|及其夹角γ称为【平面点阵参数】。
注：矢量a和b之间的夹角习惯用γ表示，下文亦是如此。
与平面点阵同理，空间点阵必可选择三个不平行的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位。按照晶体结构的周期性（最初提到过）划分所得的平行六面体称为【晶胞】。矢量长度|a|，|b|，|c|及其夹角α，β，γ称为【点阵参数】或【晶胞参数】。
再次注明：α是矢量b与c的夹角，β是a与c，γ是a与b。没有为什么，这叫习惯。
一般a，b，c三个矢量顺次成【右手系】。
所谓右手系，即将你的右手拇指，食指和中指伸开，拇指正对你的食指和中指，此时拇指，食指，中指【顺次】的位置关系。
晶体中常常用到坐标轴，我们用矢量a，b，c的方向作为坐标轴x，y，z的正方向。
由着三个矢量划分出的平行六面体单位称为【点阵单位】。点阵单位中包含一个点阵点者（计数方法在前面已提及），称为【素单位】，若是点阵点多于一个，称为【复单位】。事实上这两个概念与素晶胞，复晶胞的概念是相一致的。
空间点阵按照平行六面体单位划分之后，得到一套直线网格，称为【晶格】。点阵和晶格分别从点和线的角度反应晶体的【周期性】，但是两者有所不同。
点阵强调的是结构基元在空间的周期排列，它反映的周期排列方式是【唯一的】。
晶格强调的是按点阵单位划分出来的格子，由于选坐标轴和单位矢量有一定灵活性，它【不是唯一的】。
这种不唯一性，下文也会提及。
有了晶胞参数，我们还需要知道每个原子在晶胞中的确切位置。这里以三维晶胞为例说明。
我们学过空间向量分解定理，其表述为：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使：
p=xa+yb+zc
我们已确定了坐标轴，从坐标原点指向某一原子的矢量即为p；a，b，c为晶胞的单位矢量，那么该唯一的有序实数组（x，y，z）即为该原子在晶胞中的【坐标参数】。
注：当选取的单位矢量改变或原点的位置改变时，原子坐标参数也随之变化。

介绍些关于对称性的知识。
对称二字的含义不必多说，介绍几种对称元素。
从旋转轴说起。物体（可以是但不限于分子和晶体）绕通过其中心的某个直线旋转一定角度使其复原的操作叫做【旋转操作】。若绕该直线旋转一个角度，物体复原，且最小的旋转角为2π/n，则称其为【n次旋转轴】。
物体中若存在一个定点，使得任一点至对称中心做一连线，将其延长，必在等距的另一侧找到与之对应的一点，则该点为【对称中心】。若存在一个固定的平面，使各点对称地分布在平面两侧，则该平面为【镜面】。
以上为几种常见的点对称操作。点对称操作常见的还有反轴，映轴，在此不再赘述。
晶体中不限于点对称操作。前面已讲过【平移对称性】，即将晶体抽象成一组点阵点，连接其中任意两点可得一矢量，将各个点按此矢量平移能使晶体复原。由于晶体中原子数目虽然有限但是极多，可将其视为理想的晶体（即没有边界的晶体）。因此平移对称性是成立的。
晶体中特有的对称性还有螺旋轴与滑移面，在此也不赘述。毕竟这不是本文的重点。
晶体的对称操作受到点阵的制约。
先说明一下【对称轴】这一概念，对称轴包括旋转轴，反轴，映轴，螺旋轴等概念，本文主要讨论旋转轴。
晶体中存在的对称轴次数只能有1（任何物体都具备）,2,3,4,6五种。此处简要阐明一下其他对称轴不存在的原因。
以五次旋转轴为例。

如图，假设有一五次旋转轴垂直于纸面向里（中心绿点），周围的点阵点如图中红点所示（共面），沿轴旋转2π/5可将其复原，但是无论如何都不能满足所谓平移对称性。
其余的轴次不存在的原因与此类似。此处不再赘述。
晶体是美妙的事物。它在宏观外型上具备优美的对称性，在微观层面上亦是如此。根据晶体结构所具有的特征对称元素，可将晶体分为7个【晶系】。下面一一解释、
1.立方晶系。其特征对称元素是【4个按立方体对角线取向的三次对称轴】。
这句话有些抽象，用图示意。

如图示为一立方晶胞，红色，粉色，蓝色，绿色的线分别代表上文所说的4根三次轴。
其晶胞参数的限制很好理解，立方体嘛。a=b=c。α=β=γ=π/2。
2.六方晶系与三方晶系。之所以将这两者一起写，是因为这两者之间有【密不可分的关系】，许多人也因为基础不扎实而将其混淆。下文将详细阐述这两者的联系与区别。
六方晶系的特征对称元素是【一个六次轴】。
三方晶系的特征对称元素是【一个三次轴】。
晶胞参数的限制为：a=b
α=β=π/2
γ=2π/3
晶胞示意图如下。

两个直角与120度角均已标出，红色虚线即为三重轴或六重轴。
3.四方晶系。
特征对称元素为：【一个四次轴】。
晶胞参数的限制：a=b
α=β=γ=π/2
晶胞如图。

三个直角与两条相等的棱均已标出。红色虚线为四重轴。
4.正交晶系。
这货也叫斜方晶系，不过正交为【正式名称】，正如立方晶系曾被称为等轴晶系一样。
特征对称元素：2个互相垂直的对称面 or 3个互相垂直的二次轴。
晶胞参数的限制：α=β=γ=π/2
晶胞示意图如下。

注：该图中红，蓝，绿三条线可以代表二次轴，也可以将xoy平面，yoz平面以及xoz平面视为对称面。
5.单斜晶系。
特征对称元素：【1个二次轴或1个对称面】。
晶胞参数限制：α=γ=π/2
晶胞示意图如下。

图中的蓝色直线可视为二次轴，xoz平面为对称面。
6.三斜晶系。
这货最可怜，既没有特征对称元素，也没有晶胞参数的限制。晶胞为任意一个平行六面体，想必各位吧友都能想象出来，此处不再附图。

几大晶系的对称性自然是等级鲜明，有高有低。我们将立方晶系称为高级晶系，它一般拥有Td或Oh点群（此处不懂就算了）对称性最高，六方，四方，三方晶系为中级晶系，对称性次之（最起码还有高于2次的轴），正交，单斜，三斜称为低级晶系，他们的对称性最低。
在此我引入【晶族】的概念。
【晶族】是以晶胞的几何特征为依据（而非晶体内部的对称元素），将晶体分为6类。除了六方与三方晶系合并为【六方晶族】以外，其余的晶族与晶系名称完全相同。
由此六方晶系与三方晶系的密切联系可见一斑，其晶胞形状相同。
上文提过，晶格强调的是按点阵单位划分出来的格子，由于选坐标轴和单位矢量有一定灵活性，它【不是唯一的】。在了解了对称性的概念之后，我们可以总结出几条原则，按照这样的原则来划分晶胞是最恰当的。原则有三条：
1.所选的平行六面体应尽可能反应晶体的最高对称性。
2.晶胞参数中轴的夹角为π/2的最多。
3.【在满足上述两个条件下】，所选的平行六面体的体积最小。
应注意的是：第三个条件是次要的。
满足这样的条件划分出来的晶胞我们称为【正当晶胞】。
这三个条件至关重要，后面推导布拉维点阵的时候会用到。
说到正当晶胞，就不得不提【菱面体晶胞】这个概念。
其晶胞参数的限制：
a=b=c
α=β=γ<2π/3
根据上述第二条原则，该晶胞非正当晶胞也。
有人可能会问：三斜晶胞也没有90度的角啊？
这大错特错，菱面体晶胞和三斜晶胞根本不是一码事，他与立方，六方，三方晶系都有联系，下文将一一阐释。
先说菱面体与立方晶系的联系。

如图，黑点表示面心立方的一组点阵点（后面布拉维点阵中会有），而如图中红线所示，即为一菱面体晶胞。首先可以肯定其确实为菱面体晶胞，而且其夹角均为π/3。证明过程纯属数学知识，在此不赘述。
其次，该菱面体晶胞绝非正当晶胞。首先对称性就不满足。原来的立方晶胞具有Oh对称性，而换成菱面体晶胞之后，其对称性硬是给降到了D3d。另外，原来立方晶胞的三个直角也已一个都没有了。尽管这个平行六面体的体积的确最小（是正方体的1/4），而且包含的原子最少（一个，立方晶胞是4个），但是上述的第三条原则毕竟是次要原则。所以此处的菱面体晶胞只是一个素晶胞，而绝非正当晶胞。
再来看体心立方点阵形式。

这货照样能画出菱面体，不过这个菱面体并不是在一个立方晶胞之内，他跨出了立方晶胞。与面心立方点阵同理，该菱面体的角度为109°28′（即arccos（-1/3））也非直角，体积为立方晶胞的1/2，每个晶胞中有一个原子。D3d点群。为素晶胞而非正当晶胞。
最后说一下菱面体与三方和六方的关系。说到这个就不得不提一下三方和六方的区别。我们曾经说过，三方晶系和六方晶系同属六方晶族，其晶胞形状相同，晶胞参数限制也相同，唯一不同的是对称性不同：六方晶系的最高轴次为【6】，而三方晶系为【3】。这里的轴次指旋转轴，反轴和螺旋轴，不包括映轴。螺旋轴本文不讨论，这里有必要介绍一下反轴的概念。

介绍旋转反演操作，顾名思义，该操作为旋转与反演的组合，物体绕某条直线旋转2π/n，之后再基于直线上某个定点做反演操作（上文已经提及），这便称为一次旋转反演操作。
若一个物体绕着这样的一条直线旋转2π/n之后再做反演能够复原，那么这条直线就成为【n次反轴】。
但是，n次反轴在大多数情况下不等于n次旋转轴与对称中心的直接叠加。当n为奇数时，n次反轴恰好为上述两者的叠加，当n为2的倍数而非4的倍数时，该反轴即n/2次旋转轴与垂直于该轴的一镜面的叠加，当n是4的倍数时，该反轴是一个独立的对称元素。
言归正传，回到六方与三方晶系的讨论。
显而易见，这两种晶系一定具备三次旋转轴。若是该晶系具备六次旋转轴，那么一定是六方晶系。然而，即使不具备6次旋转轴，也未必不是六方晶系：只要存在一个垂直于3次轴的镜面，那么六方晶系也毋庸置疑。总之，若上述两者具备其一，即为六方晶系。若是既没有6次旋转轴，也没有垂直于3次轴的镜面，那么只能是三方晶系了。
那么这些与菱面体又有什么关系呢？？
我们以R心六方点阵为例探讨。

如图即为一个R心六方点阵的示意图，图中为3个晶胞并在一起的六棱柱。那么这究竟是六方晶系还是三方晶系呢？显然，该晶体既没有六次旋转轴，也没有垂直于三次轴的镜面。毫无疑问，该晶体为【三方晶系】。
后面的布拉维点阵会进一步详细说明：六方晶系只能是简单六方点阵；而三方晶系既可能是简单六方，也可能是R心六方的点阵形式。图中的菱面体不言自明。值得一提的是，该菱面体的夹角是任意的，若该夹角为π/3，则变成了我们熟悉的面心立方点阵，为立方晶系而非六/三方晶系。而此时图中的点即为面心立方最密堆积（ccp）形式，后面会提到。
综上所述，菱面体已不再是一个孤立的晶系，并且菱面体晶胞与立方，六方三方都有着密切的联系。很多人会犯一个错误：一见到菱面体（楼上的图）一见到R心六方的图就立马判断是三方晶系，这是大错特错的。当菱面体中的夹角是60度或者是109°28′时，此时为【立方晶系】，除此以外为三方晶系。
回归各位吧友可能听说过，但是许多人混淆不清拿这个不懂装懂的——布拉维（Bravias）点阵形式。
前面已经提过，点阵是三维空间中周期性重复的无数个点，有序排列，而且也已经阐述划分正当晶胞的三条规则。根据点阵的特性，点阵中全部点具有相同的化学环境【这与平移对称性本质上是一致的】。当按照对称性划分点阵单位时，除了素单位外，尚有一些复单位存在。
基于上述规定，将点阵点在空间的分布按晶族规定的晶胞形状和带心情况进行分类，有且只有14种形式。由于这些的严格的数学推导极为复杂，在此仅做简单阐释。

从立方晶族说起。
带心情况主要有面心（在每个面的中心有一个点阵点）体心（在平行六面体的中心有一个点阵点）和底心即C心（在一组对面的中心有一个点阵点）。
由特征对称性可知，简单立方，面心立方，体心立方都存在，而且其皆具有Oh对称性（此处指点阵的对称性而非真实结构的对称性）。而C心立方显然不存在，原因是破坏了原有三次轴的对称性，点群由Oh降为D4h。
对于六方晶系，只有简单六方一种点阵形式，因为任何加心形式都会破坏其对称性。六方晶系中点阵（而非真实结构）要求具备六次旋转轴的对称性，我们一一探讨C心，面心，体心的加心方式。
从C心开始。此处只画出一个平面点阵。

其中的白球为原有的简单六方点阵点，而红球为C球的加心。（红球与白球都是完全相同的点阵点）易看出，黄色矩形表示出的正是简单正交点阵形式的一层。将此图扩展到立体结构，即为简单正交点阵形式。
接着说体心六方。

如图示，三个晶胞并在一起，红色的点为原有的简单六方点阵点，而我们在每个晶胞的体心插入一个点（白点和绿点）。仔细观察上下两块阴影部分所对的区域，为一个满足D2h对称性的长方体，两个绿点，两个白点，上下两个红点恰好占满了6个面心，即为面心正交。
而后是面心立方。

如图，为了方便起见，图中有两个六棱柱，红点为原有简单六方点阵点，且只画了几个面心的点（绿点，粉点）。仔细观察上下两块阴影部分所对的区域，为一个满足D2h对称性的长方体，粉色点既是原有六方晶胞的面心的点，又是新长方体体心的点，即为体心正交。
至于三方晶系，其C心，体心与面心形式与六方对应情况本质一致，此处不在讨论。值得一提的是三方晶系的R心六方点阵。

此图上文已经发过，此处在此对其进行解释。
这是一种含有3个点阵点的复单位，同时可以抽象出只含有一个点阵点的菱面体素单位（如图示，上文已提到）。该点阵只能是三方晶系，因其既无6次旋转轴也无垂直于轴的镜面。
七大晶系中，正交晶系的点阵形式要最为丰富了。它同时具备简单正交，体心正交，面心正交，C心正交。简单，体心，面心正交在前面讲六方晶系时已提过，此处不再重述。
解释一下C心正交。

如图示，红点为简单正交原有的点阵点，图中为两个并在一起的正交晶胞。绿点为C心的点，若是想选用更小的晶胞（第三条原则），由于原有的晶胞上下底面均不是正方形，因而图中的阴影部分为菱形，显而易见，上下两块阴影部分相对的区域为一个简单单斜晶胞，不满足对称性最高，故C心正交存在。
单斜晶系只有简单单斜和C心单斜两种点阵形式。其余形式不存在的原因下文一一阐释。简单单斜不多说。
从面心单斜开始。

如图，两个单斜晶胞并在一起，我标示的角为不是90度的角。绿点和粉点为面心的点，易知上下两块阴影部分所对的区域仍为单斜晶胞，而粉色点恰好在其体心。由于体心单斜的体积是面心单斜的一半（第三条原则），所以面心单斜被抛弃。
为何体心单斜也不存在呢？
下图为体心单斜的示意图。

我标出的角为不是90度的角。粉色点为两个单斜晶胞体心的点。考察上下两块阴影部分所对的区域，仍为一个单斜晶胞（可能看起来不像，下面我会做出证明）而粉色的点恰好在其一组C心（即为矩形的一组对面的中心）。其体积为原晶胞的1/2（第三条原则），体心单斜被C心单斜取代。
简要说明一下：由单斜晶胞的晶胞参数限制可知AB垂直BD，AB垂直BC，所以AB也垂直BE，所以ABEG为矩形。同时阴影部分也是矩形，得证。
下面简述C心单斜的存在性。
如下图。

我所标示的角为不是90度的角。两个单斜晶胞并在一起，考察前后两块阴影部分所对的区域，阴影部分为菱形（显而易见），而该平行六面体的剩余四个面并没有任何一个是矩形，均为平行四边形，所以其为三斜晶胞，不满足对称性最高（第一条原则），尽管体积着实是小了一半。故C心单斜存在。
三斜晶系由于无轴对称性，对称元素只有对称中心，（上文中说三斜无特征对称元素因为对称中心所有晶胞皆有），因无轴对称元素的限制，所以C心，体心，面心三斜均可拆分为简单三斜。分析方法与上述实例基本相同，此处不再赘述。

综上，满足点阵定义（平移对称性），晶系特征对称性以及正当点阵单位而划分的晶体学点阵形式只有14种。下面列举其种类及符号。
简单立方（cP）
体心立方（cI）
面心立方（cF）
简单六方（hP）
R心六方（hR）
简单四方（tP）
体心四方（tI）
简单正交（oP）
体心正交（oI）
面心正交（oF）
C心正交（oC）
简单单斜（mP）
C心单斜（mC）
简单三斜（aP）

晶体的特性：
1.【均匀性】。即一块晶体内部各个部分的宏观性质是相同的，例如有相同的密度，相同的化学组成等。晶体的均匀性来源于原子排布的周期很小，宏观观察不出微观的不连续性。
2.【各向异性】。在不同方向晶体有不同的物理性质。例如电导率，热膨胀系数，折光率，机械强度等等。
3.【自发的长成多面体外形】。即自范性，这个性质不多说，我只是希望今后少一些逗B来问诸如“你们的晶体形状是自己切成的还是长成的”之类的问题。
这里介绍一个公式，欧拉公式。想必许多读者都已经熟悉。
F+V=E+2
即面数+顶点数=棱数+2。
4.【具有明显确定的熔点】。值得一提的是，许多试剂尤其是有机试剂，标签上表明的熔点在一定范围内变动，并不意味着这些试剂不是晶体，只是他们中含有杂质，杂质会影响晶体熔点而已。
5.【具有特定的对称性】。晶体中点对称元素只有镜面，对称中心，以及1,2,3,5,6次轴，在此不再赘述。此外平移对称性仍是非常重要的。
6.【衍射】读者有兴趣查阅相关资料，此处不再赘述。
说一下有关晶体缺陷。
实际晶体总会偏离理想晶体，因其中或多或少有一些缺陷。
缺陷可分为【点缺陷】，【线缺陷】，【面缺陷】和【体缺陷】等。
对于点缺陷，值得一提的是【Frenkel缺陷】和【Schottky缺陷】。
前者是由于有些原子的振动能可能瞬间增大到克服其势垒，离开其平衡位置而挤入间隙，形成一对空位和间隙原子。这种缺陷往往不改变或极少改变晶体体积。
而后者是一对正负离子同时离开其平衡位置而迁移到晶体表面，在原来的位置形成一对正负离子空位。这种缺陷往往引起晶体体积的增大，密度的减小。
晶体中出现空位或填隙原子，可以使化合物的成分偏离整比性，形成【非整比化合物】。这一点之后会提及(实际上原po弃贴了所以全文到此结束，讲的太清楚了，感动ing)。