因为实数的数量远大于可定义数，所以有不可定义数

因为所有“定义”构成的集合是可数集（定义是用语言表达的，语言包含的字符是有限的，字符长度也是有限的，……），这些“定义”与“可定义数”对应，因此“可定义数”构成的集合也是可数集。而实数集是不可数集，去除其中可数的“可定义数”后剩下的就是“不可定义数”

蔡廷常数

这是很古老的问题了，“可定义数”这个定义是模糊的。
详见Berry悖论：“不能用100个汉字描述的最小自然数”这本身是一个自然数的描述，且小于100个汉字。
“不可定义数”本身定义不清，所以这根本不是数学问题。好像百科上的说法源自一篇博文《比根号2更“无理”的数》作者是matrix67，北大的文科生，他的博文内容有意思但是错误很多(但还是值得读的，毕竟是数学科普大神) 。
当然，对于一个公理化的数学体系（意思是：如果有某种严格不含糊的数学语言的话），对于这种数学语言一定有不可定义数。原因如4楼所说。
--------------------以下内容纯属玩笑，因为基于并不存在的“可定义”判断---------------
这个Berry悖论推广到实数上也是很容易的，完全可以“精确定义出"一个不可定义数。令s(i)表示不能用i个字符定义的所有实数，U s(i)，i跑遍所有自然数，U表示集合并，就成了不可定义数的集合。
如果想指出一个确切的不可定义实数，可以在0.后面不停的追加数字串，第i次追加的字串让这个实数变为不可能被i个字符定义即可。