.

高斯（Gauss)定理,完全四边形为对角线为直径的圆共轴。 
波登密勒（Bodernmiller）定理，以完全四边形对角线为直径的圆共轴，完全四边形的四个垂心在一条直线，即上述三圆根轴。 
H是ABC的垂心，所以A1H*HX1=A2*HX2=A3*HX3，Xi为垂足，同时也是这三个圆上的点，所以H为根心，同理Hi为根心，所以在一条根轴上，另外一个完全四边形的西姆松线平行垂心连线，密克点到相应点连线恰好为1/2

设已知四点A1，A2，A3，A4不共圆，也不成垂心组，记A1到A2A3垂线的垂足为P14，等等，A2A3的中点为M23等等，A1关于三角形A2A3A4的垂足圆为P12P13P14，三角形A1A2A3的九点圆通过高的垂足P34，P24，P14及各边中点M23，M21，M13。 
基本密克等式：≮A2PA3=≮A2A1A3+≮P2PP3 
完全四角形中的垂足三角形顺相似： 
P12P13P14∽P21P23P24∽P31P32P34∽P41P42P43 
由密克等式≮P12P13P14=≮A2A1A4+≮A4A3A2 
≮P34P31P32=≮A4A3A2+≮A2A1A4 
这表明垂足三角形的这两个角相等，而等式右边可换成≮A2A1A4+≮A4A3A2=≮A1A2A3+A3A4A2，这表明≮P21P24P23，≮P43P42P41也等于上面两个角

四个三角形的九点圆共点 
设圆M12M13M24与M23M24M34再交X，则 
≮M12XM23=≮M12M13M23=≮A3A2A1 
≮M23XM24=≮M23M24M34=≮A4A2A3 
相加≮M12XM24=≮A4A2A1=≮M12M14M24 
四个点中每个点关于其他三点垂足圆也相交一点 
例如：P12，P13，P14，X共圆 
≮P24XP21=≮P24XM23+≮M23XP21=≮P24M13M23+≮M23M34P21 
=≮A1A3，A1A2+≮A2A4，A4A3 
=≮A4A2A1+≮A1A3A4 
=P24P23P21

四个点A1，A2，A3，A4在一个圆上，H1，H2，H3，H4是三角形A2A3A4，等等的垂心，那么A1A2A3A4与与H1H2H3H4全等，对应边互相平行．方向相反，所以A1H1，A2H2，等等，有一个公共的中点P．更进一步，四个三角形A1A2A3．等等的九点圆都通过P。点A1，A2，A3，A4中，每一个关于其他三点所成三角形的西姆松线也都通过P。又因为Al是H2H3H4的垂心，等等，显然H1H2H3H4的各个九点圆与西姆松线也都通过P．还有，Al是三角形A2A3A4，A2H3H4，H2H3H4的垂心；类似地，对于A2，A3，A4也是这样我们将这些综合如下： 
设A1，A2，A3，A4为一个圆上的四点，H1．H2，H3．H4为三角形A2A3A4等等的垂心。从这八个点中选出四个下标不同的，三个取自一组，第四个取自另一组，则它们组成一个垂心组，有八个这样的垂心组．另一方面，如果所取的点全在一组，或者每一组两个，下标不同，有四对这样的圆。因此八个点在八个相等的圆上，每一个圆上有四个点。 
 显然，所有这样的四点组有一个公共的P点 于是．例如． 
这八点中，往一点关于任意三个与它共圆的点所成三角形的西姆松线，通过P点．

结论很棒....第一个用复数也可以比较简洁的证明。