磨刀不误砍柴工，直觉上方案二就是最快的吧�

怀疑是用圆的渐近线最优

和那个移动1公里找路的题相似

感觉直觉有时候靠不住。

不如再增加一问吧：什么时候最慢？�

方案2' \_ 形轨道
不想算......

不好意思了。没有最慢的情况，最慢的情况就是用时无穷大。把方案一的斜边的右端慢慢举起来，那用时会越来越多。而斜边的边缘类似于悬崖�

还不会具体的用渐近线，不过想到一种方法，很复杂

首先，在固定的高度球的绝对速度相同
那么假设：
在球为速度v，于垂直线的夹角为α，在其下降高度h，然后水平移动距离s的时间和该球直接沿坡度的高为h，水平面上的长度为s的斜坡移动时间相同，那么球就一直以如此的斜坡移动，其时间最优
将高度h极限小，得到的结果应该是最佳结果

当然,还有个简单的方法
球在1m-1/2m的平均速度v1和球在1/2m和0m的平均速度v2可求
那么直接假设球在1m-1/2m是以v1,在1/2m和0m以v2运动,此时球的最佳路程和时间可以得到
那么将1m分为n段,每段的最佳路程和时间可以得到

从起点以最速降线滑到地面，再直线到终点
如果可以低于地面，当然直接最速降线最快拉

LS把图画一�

大概就是这样

不错，有创意！

后者可在1.98s内到达目标位置.

《21世纪·十万个为什么·数学之速》（少年版）在《从斜槽滚下来的球沿什么路线下落的时间最短》中

说：“让一个金属球沿着光滑的斜槽滚下来，从高处A点到B点，要把斜槽做成什么形状，才能使球滚下来

的时间最短呢？” 

“……两点之间的直线距离最短，把斜槽做成直的，金属球所走的路线最短，是不是下落的时间就最短？

但是球下落的时间不仅与所走的路线有关系，也与球运动的速度有关系。直的斜槽线路是最短的，但它并

不能使球滚下来的时间最短。” 

“到底应该把槽做成什么样的形状呢？意大利物理学家兼天文家伽利略曾经认为这个槽应当做成圆弧形的

。可是50年后，瑞士的数学家贝努里兄弟用精密的计算证明不应该如此，这个槽应当弯曲成摆线的弧的形

状，……从此摆线便获得了“最速降线”的称号。” 

由最速降线进一步导出了“最小作用量原理”。这个最小作用量原理在欧州引起过一场自然界的运动是否

有经济、目的的争论，当时许多科学家，数学家都卷入了这场争论（如欧拉、拉格朗日等等）最后，哈密

顿以“哈密顿原理”给这场争论划上了一个句号。哈密顿虽然证明了最小作用量是自然界的客观规律，不

是有什么经济的目的，但是他并未解开最速降线之谜。 

爱因斯坦提出了“短程线”概念，并且计算出质点在“空虚空间”的运动轨迹也是一条测地线，这条测地

线的长度，正好就是哈密顿原理中作用量的动能部分，也就是最小作用量，可是爱因斯坦不知道为什么会

这样。 

量子力学扬弃了决定论，代之以统计性，并以抽象的“波函数”为作用量，可是这个“波函数”也是满足

“哈密顿原理”。 

摆线，旋转线，测地线，短程线等都是同一类的线，都和最小作用量相关。但是，它们为什么最快降落呢

？它们的作用量为什么是最小值呢？历史上的物理学家和数学家都没有解释过，只有波恩说“以牛顿定律

作为极限情形的爱因斯坦的引力定律也可以从一种极限原理导出，其中取极值的量可以解释为时空世界的

总曲率”。但是他接着说：“这些都是抽象的考虑”。《数学之谜》的作者虽然被挂上了“当代各学科科

学研究的新见解，新知识，传播者”的头衔，他也只是说摆线就是旋轮线，贝努里兄弟的数学方法后来发

展为变分学。 

那么，摆线等等为什么是最速降线呢？其作用量为什么是最小值呢？我们就以旋轮线为例说说吧，因为旋

轮线是最能形象地，具体地说明这些问题的。 

如果不被传统的理论所束缚，就会看到，轮子在地面上转动一周，不是仅划出了一条线，而是划出了两条

线，一条是沿空间的旋轮线，另一条则是沿地面的直线。再进一步分析，可以看出，旋轮线实际上是轮子

的四条直径（即外切于轮子的正方形的四条边）沿空间的展开，直线则是轮子的周长沿地面的展开。测量

一下就可知，这两条线的长度之比值为4: π，这两条线包围起来的空间和轮子的面积之比值也为4:π。

这两种比值正好和刘徽发现的正方形和内切于它的圆的比值为4:π相等。这不是偶然的巧合，而是自然界

的静力学平衡态和动力学平衡态的相互转化的客观规律。 

那么，这个自然界规律和最速降线及最小作用量有什么关系呢？ 

如果从旋轮线和直线的两端各引出一条斜线，以45度角和这两条线的中轴线相交，这个三条线相交的点就

是场的引力中心O。（它相当于单摆的轴心或重心O），这个引力中心O相对于摆线或旋轮线的任一点的能

量分布都是各向同性，均匀分布的，即半径的长度都是相等的。其能量分布的值都是1:π/4。 

那么，摆线、旋轮线的能量分布为什么为1: π/4呢？ 

从太极图和八卦可以看出，外切于正方形的圆实际上是正方形，八卦旋转一周由它们的四只角或八只角划

出的一个圆。因为圆和外切于它的正方形的每一个象限（R2）的面积，线长之比都是1:π/4，所以转动的


正方形和它划出的圆弧之间的任一点的能量分布就是1: π/4.1—π/4就是最小作用量的值，也就是牛顿

没找到的那个“横向切线力”。 

现在可以明确地回答摆线、旋轮线等为什么是最速降线了：这类曲线所以是最速降线，是因为它们相对于

场的引力中心O的能量分布是各向同性、均匀分布的，是真正的匀加速运动,是真正的“惯性运动”。 

《数学之谜》的作者说：摆线、旋轮线“是一种接近圆弧的曲线”是错误的，仅凭直观就可以看出，如果

摆绕自己的引力中心O转一周，划出来的是一个不折不扣的圆，而摆线、旋轮线就是这个圆的1/4或1/8。 

那么，《数学之谜》的作者在文章的插图中所划出的直线和圆弧为什么不是最速降线呢？那条直线实质上

就是车轮转动一周在地面上划出的那条线，它是静力学平衡线，相对于场的引力中心O的能量分布是各向

异性、非均匀分布的，所以它先快后慢。那条弧线则是相对于场的另外一个引力中心O的，是一个大圆的

一段弧线，由于它的半径（弦长）比较长，因而场的引力强度比较弱，所以它的运动速度就慢一些。这个

原理早就被伽利略的试验所证实，并由万有引力定律所决定了。 

《数学之谜》的作者在文章的最后说：“贝努利兄弟计算摆线的方法，后来发展成为一个新的数学分支—

—变分学”。 

什么是微分？什么是变分？数学家从来就是只讲定理、公式，而不讲数学的本质。其实，微分就是以静力

学平衡为基础的计算正方形与外切于它的圆的函数的方法，变分则是把动力学平衡的正方形与内切于它的

圆的函数变换成静力学平衡的正方形与外切于它的圆的函数之后再加以计算的方法，这从单摆运动的变分

公式中看得很清楚。 

人类是生活在地面上的动物，相对于地面的静止与运动，是人类生存及其全部生活经验的基础，也是人类

根据这些经验建立起来的理论的基础。但是，地面这个参考系是有二重性的：它的运动形式和存在形式，

一方面是相对于它的引力中心——地心、日心……O的；另一方面又是相对于外部世界的。相对于引力中

心O，它是不停的转动系统，其能量分布为1: π/4；相对于外部世界，它是相对静止，其能量分布为1:1

。地心说虽然表面上被否定了，但是人类和地面之间的关系是割不断的，例如，人类对静止与运动的认识

及对空间与时间的量度，就仍然取惯性系、直线数系，决定论、统计性、秒、厘米等等。应该说，以地面

相对于外部世界的静止为基础以斥力为中心的理论对于人类的一切活动是有实用价值的，但是，如果把它

推广到一切自然界领域，作为自然界运动的客观规律，就会漏洞百出了。因为地球的转动（地面相对于地

心O、日心O……的运动）才是它的运动形式、存在形式的本质。


PS:转载,结果承认,不代表自己的观点,XT

看不懂  啊啊啊