好吧，说说复数法的思想。
对原式平方并用半角公式可得∏(k from 1 to n-1)0.5(1-cos(kπ/n))
今考虑方程z^(2n)-1=0, 设其解z_k=e^i(k/π)(为了方便就不打三角形式了) 可算得|1-z_k|^2=2(1-cos(k/π)) 那么我们只要求出诸|1-z_k|^2(k=1,...,n-1)之积就可以了

注意到以下两个式子:
z_{2n-k}=z_k共轭;
|1-z_k|^2=(1-z_k)*共轭(1-z_k)
联立有|1-z_k|^2=(1-z_k)(1-z_{2n-k})
所以∏|1-z_k|^2=∏(1-z_r)(r不等于n, 2n) 记为(*)式
设f(z)=z^(2n)-1 ,g(z)=f(z)/(z^2-1)=(1+z^2+z^4+...+z^(2n-2))
我们发现g(1)就是(*) 算出来g(1)=n
因此那一串模的平方之积是n 而它们又等于2^(2n-2)*∏(1-cos(kπ/n)) 所以结论得证，证毕！

有没有完全避开复数的方法呢？
以前在高一的奥数教程-奥数测试上看过一个求∏ctg的 好像也是用了复数。

@在这一刻改变 少年有啥想法没=_=

我第一反应也是用单位根。等我明天想想三角证法吧