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题目：证明x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1在有理数范围内不可能有四次既约式。
解：
一 因为当x=±1时，x8-x7+x5-x4+x3-x+1≠0，
所以，x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1没有一次式因子；
二 这样的话，如果x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1有四次既约式，那么必是两个二次式的积，也就是
x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1必有二次式因子；
三 就是说，如果x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1有四次既约式，那么x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1必可分解为“一个二次式因子与一个六次式因子之积”的形式；
四 设其中的二次式为x^2+ax+1,注意到：
x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1的系数1，-1，0，1 ，-1，1，0，-1，1是对称的（前四个1，-1，0，1 与后四个1，0，-1，1关于中间那个-1对称），而x^2+ax+1的系数1，a ，1也是对称 的。
所以，x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1中的六次式因子就可以设为系数对称的：
x^6+bx^5+cx^4+dx^3+cx^2+bx+1.
五 于是有：（x^2+ax+1）（x^6+bx^5+cx^4+dx^3+cx^2+bx+1）=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1。
左边展开，各项的系数与右边各相应项的系数对应相等地，可得到一个四元方程组，通过消元，可得到一个一元二次方程（这个过程繁杂，在此略去），容易判断这一元二次方程没有有理根。
这就证明了：x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1在有理数范围内不可能有四次既约式。
解：
一 因为当x=±1时，x8-x7+x5-x4+x3-x+1≠0，
所以，x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1没有一次式因子；
二 这样的话，如果x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1有四次既约式，那么必是两个二次式的积，也就是
x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1必有二次式因子；
三 就是说，如果x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1有四次既约式，那么x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1必可分解为“一个二次式因子与一个六次式因子之积”的形式；
四 设其中的二次式为x^2+ax+1,注意到：
x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1的系数1，-1，0，1 ，-1，1，0，-1，1是对称的（前四个1，-1，0，1 与后四个1，0，-1，1关于中间那个-1对称），而x^2+ax+1的系数1，a ，1也是对称 的。
所以，x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1中的六次式因子就可以设为系数对称的：
x^6+bx^5+cx^4+dx^3+cx^2+bx+1.
五 于是有：（x^2+ax+1）（x^6+bx^5+cx^4+dx^3+cx^2+bx+1）=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1。
左边展开，各项的系数与右边各相应项的系数对应相等地，可得到一个四元方程组，通过消元，可得到一个一元二次方程（这个过程繁杂，在此略去），容易判断这一元二次方程没有有理根。
这就证明了：x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1在有理数范围内不可能有四次既约式。
事实上，x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1在有理数范围内不仅没有四次因式，也没有三次、二次、一次因式。
换句话说， x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1本身在有理数范围内就是一个不可分解因式的既约式。
这是因为：x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1= 0 没有实数解，其8个根都是实部值和虚部值均为无理数的复数。
这8个根是：cos(2kπ/5+π/6)+sin(2kπ/5+π/6)i 和 cos(2kπ/5-π/6)+sin(2kπ/5-π/6)I，k=1,2,3,4。
考察这8个根可知：x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 在实数范围内还是可以分解因式的。
这题如果是拿给初中学生做的，虽不能如楼主所说是“超变态”，但也确实太过分。
换句话说， x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1本身在有理数范围内就是一个不可分解因式的既约式。
这是因为：x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1= 0 没有实数解，其8个根都是实部值和虚部值均为无理数的复数。
这8个根是：cos(2kπ/5+π/6)+sin(2kπ/5+π/6)i 和 cos(2kπ/5-π/6)+sin(2kπ/5-π/6)I，k=1,2,3,4。
考察这8个根可知：x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 在实数范围内还是可以分解因式的。
这题如果是拿给初中学生做的，虽不能如楼主所说是“超变态”，但也确实太过分。
